Aritmetika verbal

Aritmatika verbal, juga dikenal sebagai alfamatika, kriptaritmatika, kriptaritma, atau penjumlahan kata (bahasa Inggris: word addition), adalah jenis permainan matematika yang terdiri dari persamaan matematika antara bilangan-bilangan yang tidak diketahui, yang angka-angkanya diwakili oleh huruf-huruf alfabet. Tujuannya adalah untuk mengidentifikasi nilai setiap huruf. Namanya dapat diperluas ke teka-teki yang menggunakan simbol non-abjad, bukan huruf. Setiap huruf mewakili satu angka di mana jika huruf tersebut diganti dengan angka yang sesuai, maka persamaan matematika nya akan terpenuhi.^[1]

Setiap huruf mewakili satu angka unik, dan tidak ada dua huruf yang bisa mewakili angka yang sama. Cryptarithm adalah masalah matematika terenkripsi, di mana angka-angka dalam ekspresi matematika tertentu diwakili oleh huruf atau simbol lainnya.^[2]

Persamaan biasanya merupakan operasi dasar aritmatika, seperti penjumlahan, perkalian, atau pembagian. Contoh klasiknya, yang diterbitkan dalam Strand Magazine edisi Juli 1924 oleh Henry Dudeney,^[3] adalah:

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{\text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matrix}}}$

Penyelesaian teka-teki ini adalah O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8, dan S = 9.

Secara tradisional, setiap huruf harus mewakili digit yang berbeda, dan (sebagai notasi aritmatika biasa) digit terdepan dari bilangan multi-digit tidak boleh nol. Teka-teki yang baik harus memiliki satu solusi unik, dan huruf-hurufnya harus membentuk sebuah frase (seperti pada contoh di atas).

Aritmatika verbal dapat bermanfaat sebagai motivasi dan sumber latihan dalam pengajaran aljabar.

Teka-teki kriptaritmik sudah cukup tua dan penemunya tidak diketahui. Contoh tahun 1864 dalam The American Agriculturist^[4] membantah anggapan populer bahwa hal itu diciptakan oleh Sam Loyd. Nama "cryptarithm" diciptakan oleh ahli teka-teki Minos (nama samaran Simon Vatriquant) dalam Sphinx edisi Mei 1931, sebuah majalah matematika rekreasional Belgia, dan diterjemahkan sebagai "cryptarithmetic" oleh Maurice Kraitchik pada tahun 1942^[5] Pada tahun 1955, JAH Hunter memperkenalkan kata "alphametic" untuk menunjuk cryptarithma, seperti Dudeney, yang huruf-hurufnya membentuk kata atau frasa yang bermakna.^[6]

Jenis-jenis kriptaritma meliputi pembelahan alfametik, digimetik, dan rangka.

Suatu jenis kriptaritma di mana sekumpulan kata dituliskan dalam bentuk penjumlahan panjang atau soal matematika lainnya. Tujuannya adalah mengganti huruf alfabet dengan angka desimal untuk menghasilkan jumlah aritmatika yang valid.

Kriptaritma di mana angka digunakan untuk mewakili angka lainnya.

Pembagian panjang yang sebagian besar atau seluruh digitnya diganti dengan simbol (biasanya tanda bintang) untuk membentuk kriptaritma.

Memecahkan kriptaritma dengan tangan biasanya melibatkan campuran deduksi dan pengujian kemungkinan yang menyeluruh. Misalnya urutan pemotongan berikut memecahkan teka-teki Dudeney SEND+MORE = MONEY di atas (kolom diberi nomor dari kanan ke kiri):

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{\text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matrix}}}$

1. Dari kolom 5, M = 1 karena merupakan satu-satunya kemungkinan carry-over dari jumlah dua digit angka tunggal di kolom 4.
2. Karena terdapat carry pada kolom 5, maka O harus lebih kecil atau sama dengan M (dari kolom 4). Namun O tidak bisa sama dengan M, jadi O lebih kecil dari M. Oleh karena itu O = 0.
3. Karena O lebih kecil 1 dari M, S bisa jadi 8 atau 9, tergantung apakah ada carry di kolom 4. Namun jika terdapat carry pada kolom 4 (dihasilkan dengan penambahan kolom 3), N akan lebih kecil atau sama dengan O. Hal ini tidak mungkin karena O = 0. Oleh karena itu tidak ada carry pada kolom 4 dan S = 9.
4. Jika tidak ada carry di kolom 3 maka E = N, itu tidak mungkin. Oleh karena itu ada carry dan N = E + 1.
5. Jika kolom 2 tidak ada carry, maka ( N + R ) mod 10 = E, dan N = E + 1, jadi ( E + 1 + R ) mod 10 = E yang artinya ( 1 + R ) mod 10 = 0, jadi R = 9. Tapi S = 9, jadi harus ada carry di kolom 2 jadi R = 8.
6. Untuk menghasilkan carry pada kolom 2 kita harus mempunyai D + E = 10 + Y.
7. Y minimal 2 jadi D + E minimal 12.
8. Hanya dua pasang bilangan yang tersedia yang jumlahnya paling sedikit 12 adalah (5,7) dan (6,7) jadi E = 7 atau D = 7.
9. Karena N = E + 1, E tidak mungkin 7 karena N = 8 = R jadi D = 7.
10. E tidak mungkin 6 karena N = 7 = D jadi E = 5 dan N = 6.
11. D + E = 12 jadi Y = 2.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\text{T}}&{\text{O}}\\+&&{\text{G}}&{\text{O}}\\\hline =&{\text{O}}&{\text{U}}&{\text{T}}\\\end{matrix}}}$

1. Jumlah dua angka dua angka terbesar adalah 99+99=198. Jadi O=1 dan ada carry di kolom 3.
2. Karena kolom 1 berada di sebelah kanan semua kolom lainnya, tidak mungkin ada carry. Oleh karena itu 1+1=T, dan T=2.
3. Karena kolom 1 sudah dihitung pada langkah terakhir, diketahui tidak ada carry di kolom 2. Tapi, diketahui juga ada carry di kolom 3 pada langkah pertama. Oleh karena itu, 2+G≥10. Jika G sama dengan 9, maka U sama dengan 1, tetapi hal ini tidak mungkin karena O juga sama dengan 1. Jadi hanya G=8 yang mungkin dan dengan 2+8=10+U, U=0.

Penggunaan aritmatika modular sering kali membantu. Misalnya, penggunaan aritmatika mod-10 memungkinkan kolom masalah penjumlahan diperlakukan sebagai persamaan simultan, sedangkan penggunaan aritmatika mod-2 memungkinkan inferensi berdasarkan paritas variabel.

Dalam ilmu komputer, kriptaritma memberikan contoh yang baik untuk mengilustrasikan metode brute force, dan algoritma yang menghasilkan semua permutasi m pilihan dari n kemungkinan. Misalnya, teka-teki Dudeney di atas dapat diselesaikan dengan menguji semua penetapan delapan nilai di antara angka 0 hingga 9 hingga delapan huruf S,E,N,D,M,O,R,Y, sehingga menghasilkan 1.814.400 kemungkinan. Mereka juga memberikan contoh yang baik untuk menelusuri kembali paradigma desain algoritma.

Anton Pavlis membuat kriptaritma alfabet pada tahun 1983 dengan 41 operasi pertambahan:

SO+MANY+MORE+MEN+SEEM+TO+SAY+THAT+THEY+

MAY+SOON+TRY+TO+STAY+AT+HOME+SO+AS+

TO+SEE+OR+HEAR+THE+SAME+ONE+MAN+TRY+

TO+MEET+THE+TEAM+ON+THE+MOON+AS+HE+

HAS+AT+THE+OTHER+TEN

=TESTS

(Jawabannya adalah MANYOTHERS=2764195083.)^[8]

• Persamaan Diophantine
• Teka-teki matematika
• Permutasi
• Teka-teki
• Aritmatika Samping Dari Sekolah Wayside - Sebuah buku yang plotnya berkisar pada teka-teki ini
• Kriptogram

• Solusi menggunakan kode Matlab dan tutorial
• Kriptaritma secara langsung

• Cryptarithm Solver
• Pemecah Alfametika!
• Pemecah Teka-teki Alfametika
• Aplikasi Android untuk menyelesaikan masalah Crypt Arithmatic
• Pemecah Alfametik ditulis dengan Python
• Alat online untuk membuat dan menyelesaikan Alfametika dan Kriptaritma
• Alat online untuk memecahkan, membuat, menyimpan, dan mengambil alfabet - lebih dari 4000 alfabet bahasa Inggris tersedia dengan solusi