Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Symmetric group di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Struktur aljabar → Teori grup Teori grup
Gagasan dasar Subgrup Subgrup normal Grup hasil bagi darab langsung semi-darab langsung Homomorfisme grup kernel bayangan jumlah langsung karangan bunga sederhana hingga takhingga kontinu multiplikatif aditif siklik Abel dihedral nilpoten terselesaikan aksi Glosarium teori grup Daftar topik teori grup
Grup hingga Klasifikasi grup sederhana hingga siklik bergantian tipe Lie sporadik Teorema Cauchy Teorema Lagrange Teorema Sylow Teorema Hall grup-p Grup Abel elementer Grup Frobenius Pengganda Schur Grup simetrik ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ Grup Klein ${\displaystyle \mathrm {V} }$ Grup dihedral ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ Grup kuaternion ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ Grup disiklik ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$
Grup diskret Kekisi Bilangan bulat (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Grup bebas Grup modular ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ Grup aritmetika Kekisi Grup hiperbolik
Topologis dan Grup Lie Solenoid Lingkaran Linear umum ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ Linear khusus ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ Ortogonal ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ Euklides ${\displaystyle \mathrm {E} (n)}$ Ortogonal khusus ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ Uner ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ Uniter khusus ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ Simplektik ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré konformal Difeomorfisme Gelung Grup Lie berdimensi takhingga ${\displaystyle O(\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}$
Grup aljabar Grup aljabar linear Grup reduktif Varietas Abel Kurva eliptik
l b s

Grup simetrik dari bentuk geometri adalah grup dengan kekongruenan yang bersifat invarian dan mempunyai fungsi komposisi sebagai operasinya.

Dalam geometri Euclid. grup simetri yang diskrit terbagi kedalam dua jenis yaitu grup titik finit yang hanya meliputi rotasi dan refleksi (pencerminan) sedangkan grup lattice infinit tidak hanya rotasi dan refleksi tetapi ditambah dengan translasi dan refleksi geser. Ada juga grup simetri kontinu yang memiliki rotasi dengan perubahan sudut yang kecil dan translasi dengan perubahan jarak yang kecil. Grup dari semua simetri bentuk bola SO (3) (special orthogonal group) adalah contoh dari grup simetri kontinu, secara umum grup simetri kontinu dipelajari sebagai grup Lie (menunjukkan struktur analisis).

Jika bentuk geometrinya terbatas, semua elemen dari grup simetri hanya mempunyai satu fixed point (pengoperasian dengan input = output) yang sama.

Grup titik diskrit pada ruang dua dimensi dapat dibagi ke dalam dua kelompok infinit.

• Grup siklik C1, C2, C3, ....., Cn, di mana Cn adalah rotasi dengan sudut 360/n
• Grup dihedral D1, D2, D3, ...., Dn, di mana Dn adalah rotasi pada Cn bersamaan dengan refleksi pada n sumbu yang melalui fixed point

Pada kasus n=1 (simetri rendah), diketahui bahwa C1 adalah grup yang hanya memiliki operasi identitas dan itu terjadi jika bentuk geometrinya tidak memiliki operasi simetri sama sekali. D1 adalah grup dengan dua elemen yang memiliki satu sumbu simetri bilateral. Grup dihedral D3, D4, .... adalah grup yang termasuk kedalam poligon reguler.

Dengan bentuk geometri yang terbatas dan tertutup secara topologi (merupakan grup titik yang sempurna), kemungkinan lainnya adalah grup SO (2) yang memiliki semua rotasi pada fixed point dan refleksi pada berbagai sumbu yang melalui fixed point-nya. Keadaan akhir (penutup) pada bentuk di atas adalah bidang yang dapat dianggap "bentuk geometri" sebagaimana set dari semua poin dalam bundaran unit dengan koordinat rasional. Grup simetri dari set tadi mempunyai beberapa (tidak semua), hanya rotasi dengan perubahan sudut yang kecil.

Untuk bentuk geometri tak terbatas, grup simetri dapat memiliki translasi dan memungkinkan tujuh belas wallpaper group dan tujuh friezer group

Contoh:

xxx         xxx                xxx         x
  xx        x x                x          xxx
  x         x x              xxx           x

 C1          D1              C2            D4

Pembahasan pada ruang tiga dimensi ini lebih rumit dibanding pembahsan sebelumnya sejak mempunyai kemungkinan berbagai sumbu rotasi pada grup titik. Pertama, terdapat grup trivial dengan tiga jenisnya yaitu C3 (Clh), Ci, dan C2 yang mempunyai satu operasi simetri refleksi pada bidang, pada titik simetri, dan pada garis (sama dengan rotasi sejauh 180)

Ada yang dinamakan dengan grup uniaksial Cn, yang dirotasikan dengan sudut sejauh 360/n. Dapat juga terdapat sebuah cermin yang tegak lurus terhadap sumbu utama, dinamakan Cnh, atau set dari n bidang sumbu yang sejajar sumbu simetri, dinamakan Cnv.

Jika pada grup itu terdapat bidang cermin horisontal dan vertikal, maka ada n sumbu rotasi sejauh 180, tidak lagi dinamakan grup uniaksial tetapi grup Dnh. Subgrup rotasi yang disebut Dn tetap mempunyai sumbu rotasi (2) yang tegak lurus sumbu rotasi utama (tanpa bidang cermin). Grup lain yaitu Dnd (atau Dnv) yang bidang cermin vertikalnya mempunyai sumbu rotasi utama tapi terletak setengah dari jarak kedua sumbu, maka bidang yang tegak lurus itu tidak terletak di sana. Dnh dan Dnd merupakan grup simetri untuk bentuk umum dari prisma dan antiprisma, Dn adalah grup simetri dari prisma terotasi parsial.

Grup lain pada ruang tiga dimensi adalah Sn, dengan rotasi improper sejauh 360/n, operasi rotasi diikuti dengan refleksi pada bidang yang tegak lurus pada sumbu simetrinya. Untuk n ganjil, rotasi dan refleksinya menghasilkan bentuk geometri yang sama, dapat pula disebut Cnh, keadaan ini tidak berlaku sama untuk n yang genap.

Dalam grup simetri, ada yang dikenal dengan simetri tinggi atau simetri polihedral karena grup ini mempunyai lebih dari satu sumbu rotasi. Dengan menggunakan Cn sebagai sumbu rotasi yang melalui 360/n dan Sn sebagai sumbu rotasi improper dengan sudut yang sama pula, ada beberapa grup dalam simetri tinggi ini, di antaranya:

• T (tetrahedral), mempunyai 4 sumbu C3 yang melewati titik ujung dari kubus, 3 sumbu C2 yang melewati pusat melalui muka kubus. Tidak ada operasi simetri lain, grup ini adalah isomorfik dengan A4, sebuah alternating group
• Td, grup ini mempunyai sumbu rotasi yang sama yaitu T, tetapi dengan 6 bidang cermin, masing-masing memiliki satu sumbu C2 (dapat juga disebut S4) dan 4 sumbu C3, merupakan grup simetri tetrahedral, Td isomorfik dengan S4
• Th, grup ini mempunyai sumbu rotasi yang sama yaitu T, tetapi dengan bidang cermin yang masing-masing memiliki 2 sumbu C2 dan tidak memiliki sumbu C3 (dapat disebut sumbu S6), mempunyai titik inversi, Th isomorfik dengan A4 x C2
• O (oktahedral), mirip dengan T, sumbu C2 = sumbu C4, sumbu C2 melewati ujung pinggir kubus, O isomorfik denagn S4
• Oh, grup ini mempunyai sumbu rotasi yang sama yaitu O, tetapi dengan bidang cermin (tidak lain adalah Td dan Th). Oh isomorfik dengan S4 x C2, grup simetri dari dari kubus dan oktahedron
• I, Ih (ikosahedral), grup simetri dari ikosahedron dan dodekahedron. Grup dengan rotasi proper (layak) I adalah subgrup normal dari indeks 2 pada grup (lengkap) dari simetri dengan I isomorfik dengan A5, alternating group Ih adalah A5 x C2

Dalam konteks yang lebih luas, grup simetri merupakan bagian dari grup transformasi atau grup automorfism. Ketika kita mengetahui struktur matematika yang kita dalami, kita dapat mengetahui pemetaan dari struktur itu. Simetri dapat mengartikan struktur, atau dapat dituliskan sebagai invarian, bahasa geometri yang merupakan salah satu media untuk mengenal program Erlangen.

• Simetri
• Aksi grup
• Grup kristal
  • grup titik kristal
  • grup ruang

Unsur-unsur dari grup simetris pada himpunan X adalah permutasi dari X .

Operasi grup dalam grup simetris adalah komposisi fungsi, dilambangkan dengan simbol ∘ atau hanya dengan penjajaran permutasi. Komposisi f ∘ g dari permutasi f dan g , dilafalkan " f dari g ", memetakan setiap elemen x dari X ke f(g(x)). Secara konkret, mari (lihat permutasi untuk penjelasan tentang notasi):

${\displaystyle f=(1\ 3)(4\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}.}$

Menerapkan f setelah g memetakan 1 pertama ke 2 dan kemudian 2 ke dirinya sendiri; 2 sampai 5 dan kemudian ke 4; 3 ke 4 lalu ke 5, dan seterusnya. Jadi menyusun f dan g memberi

${\displaystyle fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}.}$

Siklik dengan panjang L = k · m, dibawa ke daya k , akan terurai menjadi siklus k dengan panjang m : Misalnya, (k = 2, m = 3),

${\displaystyle (1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).}$

Untuk memeriksa bahwa grup simetris pada himpunan X memang sebuah grup, perlu untuk memverifikasi aksioma grup penutupan, asosiasi, identitas, dan invers.^[1]

1. Operasi komposisi fungsi ditutup dalam set permutasi dari himpunan X yang diberikan.
2. Komposisi fungsi selalu asosiatif.
3. Trivial bijeksi yang menetapkan setiap elemen X untuk dirinya sendiri berfungsi sebagai identitas untuk grup.
4. Setiap bijeksi memiliki fungsi invers yang membatalkan aksinya, dan dengan demikian setiap elemen dari kelompok simetris memiliki invers yang juga merupakan permutasi.

Kelas konjugasi dari S_n sesuai dengan struktur siklus permutasi; yaitu, dua elemen S_n terkonjugasi S_n jika dan hanya jika terdiri dari jumlah siklus pemutusan yang sama dengan panjang yang sama. Misalnya, dalam S₅, (1 2 3)(4 5) dan (1 4 3) (2 5) adalah konjugasi; (1 2 3) (4 5) dan (1 2) (4 5) tidak. Elemen konjugasi dari S_n dapat dibangun dalam "notasi dua baris" dengan menempatkan "notasi siklus" dari dua permutasi konjugasi di atas satu sama lain. Melanjutkan contoh sebelumnya:

${\displaystyle k={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&3&2&5\end{pmatrix}}}$

yang dapat dituliskan sebagai hasil kali siklus yaitu: (2 4).

Permutasi ini kemudian menghubungkan (1 2 3) (4 5) dan (1 4 3) (2 5) melalui konjugasi, yaitu,

${\displaystyle (2~4)\circ (1~2~3)(4~5)\circ (2~4)=(1~4~3)(2~5).}$

Jelas bahwa permutasi semacam itu tidak unik.