Artikel ini membutuhkan lebih banyak pranala ke artikel lain untuk meningkatkan kualitasnya. Silakan mengembangkan artikel ini dengan menambahkan pranala yang relevan ke konteks pada teks eksisting. (November 2025) (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)

Misalkan ${\displaystyle V}$ adalah ruang vektor atas bidang ${\displaystyle F}$ dan ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}}$ adalah dua vektor dalam ${\displaystyle V}$. Kombinasi linear dari ${\displaystyle {\vec {v}}_{1}}$ dan ${\displaystyle {\vec {v}}_{2}}$ adalah vektor-vektor yang diperoleh melalui operasi perkalian skalar dan penjumlahan terhadap kedua vektor tersebut.^[1] Pada ruang vektor ${\displaystyle V}$ berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Artinya vektor ${\displaystyle {\vec {v}}_{1}}$ dan ${\displaystyle {\vec {v}}_{2}}$ dapat dikalikan dengan skalar ${\displaystyle k,m\in F}$, sehingga terbentuk ${\displaystyle k{\vec {v}}_{1}}$ dan ${\displaystyle m{\vec {v}}_{2}}$. Dengan menjumlah kedua vektor, diperoleh ${\displaystyle k{\vec {v}}_{1}+m{\vec {v}}_{2}}$. Vektor inilah yang disebut sebagai kombinasi linear dari ${\displaystyle {\vec {v}}_{1}}$ dan ${\displaystyle {\vec {v}}_{2}}$.^[2]

Misalkan ${\displaystyle F}$ adalah bidang dan ${\displaystyle V}$ adalah ruang vektor atas lapangan ${\displaystyle F}$. Anggota-anggota ${\displaystyle V}$ disebut vektor dan anggota-anggota ${\displaystyle F}$ disebut skalar. Kombinasi linear dari vektor-vektor ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\ldots ,{\vec {v}}_{n}}$ adalah vektor-vektor yang dapat ditulis sebagai

${\displaystyle k_{1}{\vec {v}}_{1}+k_{2}{\vec {v}}_{2}+\ldots +k_{n}{\vec {v}}_{n}}$

untuk suatu skalar ${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\in F}$.

Himpunan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ adalah ruang vektor atas lapangan ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Vektor ${\displaystyle (2,7)}$ merupakan kombinasi linear dari ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(1,0)}$ dan ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}=(0,1)}$, sebab terdapat skalar ${\displaystyle 2,7\in \mathbb {R} }$ sehingga

${\displaystyle (2,7)=2(1,0)+7(0,1)=2{\vec {e}}_{1}+7{\vec {e}}_{2}}$

Lebih lanjut, setiap vektor dalam ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari ${\displaystyle e_{1}}$ dan ${\displaystyle e_{2}}$. Ini terjadi karena sebarang vektor ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ dapat ditulis sebagai

${\displaystyle {\begin{aligned}(x,y)&=(x,0)+(0,y)\\&=x(1,0)+y(0,1)\\&=x{\vec {e}}_{1}+y{\vec {e}}_{2}\end{aligned}}}$

Himpunan ${\displaystyle P_{2}}$ merupakan ruang vektor atas lapangan ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Himpunan ini berisi polinomial-polinomial berderajat kurang dari atau sama dengan 2, di mana koefisiennya diambil dari ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Misalkan ${\displaystyle p_{1}=1+x^{2}}$ dan ${\displaystyle p_{2}=2x^{2}}$. Apakah polinomial ${\displaystyle 1+x}$ merupakan kombinasi linear dari ${\displaystyle p_{1}}$ dan ${\displaystyle p_{2}}$? Untuk menjawabnya, perlu diperiksa apakah terdapat skalar ${\displaystyle k_{1},k_{2}\in \mathbb {R} }$ yang memenuhi persamaan

${\displaystyle 1+x=k_{1}(1+x^{2})+k_{2}(2x^{2})}$

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai

${\displaystyle 1+1x+0x^{2}=k_{1}+0x+(k_{1}+2k_{2})x^{2}}$

Dua polinomial bernilai sama jika dan hanya jika koefisien suku-suku yang bersesuaian bernilai sama. Perhatikan bahwa koefisien suku yang memuat ${\displaystyle x}$ pada ruas kiri adalah 1, sedangkan koefisien pada ruas kanan adalah 0. Akibatnya, kedua polinomial tidak mungkin bernilai sama. Artinya, tidak ada skalar ${\displaystyle k_{1},k_{2}\in \mathbb {R} }$ yang memenuhi persamaan

${\displaystyle 1+x=k_{1}(1+x^{2})+k_{2}(2x^{2})}$

Dengan demikian, ${\displaystyle 1+x}$ bukan kombinasi linear dari ${\displaystyle p_{1}}$ dan ${\displaystyle p_{2}}$.

1. ^ Strang, Gilbert (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed). Wellesley - Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-7-6.
2. ^ Izzulhaq, Agung. "Kombinasi Linear: Materi dan Contoh Soal". www.kimiamath.com. Diakses tanggal 2020-03-02.

• (Inggris) Kombinasi Linear di MathWorld