Modul hasil bagi

Dalam aljabar, diberi modul dan submodul, seseorang dapat membangun modul hasil bagi.^[1]^[2] Konstruksi ini, dijelaskan di bawah, sangat mirip dengan ruang vektor hasil bagi. Ini berbeda dari konstruksi hasil bagi analogi gelanggang dan grup oleh fakta bahwa dalam kasus ini, subruang yang digunakan untuk menentukan hasil bagi tidak memiliki sifat yang sama dengan ruang ambien (yaitu, gelanggang hasil bagi adalah hasil bagi gelanggang oleh ideal, bukan subgelanggang, dan grup hasil bagi adalah hasil bagi grup oleh subgrup normal, bukan oleh subgrup umum.

Diberikan modul A di atas gelanggang R , dan submodul B dari A , ruang bagi A / B didefinisikan oleh relasi ekivalen

a\sim b

jika dan hanya jika

b-a\in B,

untuk setiap a dan b di A . Elemen dari A / B adalah kelas ekivalen[a] = a + B = {a + b : b in B}. fungsi π: A → A/B pada order a dalam A ke kelas ekivalennya a + B disebut peta hasil bagi atau peta proyeksi , dan merupakan modul homomorfisme.

Operasi penambahan pada A / B didefinisikan untuk dua kelas ekivalen sebagai kelas ekivalen dari jumlah dua perwakilan dari kelas-kelas ini; dan perkalian skalar elemen A / B dengan elemen R didefinisikan serupa. Perhatikan bahwa harus ditunjukkan bahwa operasi ini ditentukan dengan baik. Kemudian A / B menjadi modul R yang disebut modul hasil bagi . Dalam simbol, (a + B) + (b + B) := (a + b) + B, dan r · (a + B) := (r · a) + B, untuk a , b di A dan r pada R .