في الجبر التجريدي البنية الجبرية (بالإنجليزية: algebraic structure) تتألف من مجموعة مزودة بمجموعة من العمليات أو العلاقات الرياضية المعرفة عليها بحيث تحقق بدهيات axiom معينة. مثلا الزمرة (G,*) يشار لها عادة بالزمرة G. في حال كانت المجموعة مزودة بعلاقات رياضية فقط دون أي عمليات نقول عنها أنها بنية علاقاتية relational structure.
قانون تركيب داخلي
تعريف
يرمز له عادة ب أو .
نسمي عملية أو قانون تركيب داخلي كل تطبيق يربط عنصرين من نفس المجموعة بصورة ضمن تلك المجموعة بصفة عامة :
ليكن و من مجموعة .
قانون تركيب داخلي إذا كان : [1]
حيث تسمى مجموعة مزودة بقانون تركيب داخلي ونكتب
من البنيات الجبرية الأكثر شيوعا نجد الحلقات، وهي عبارة عن مجموعة كائنات رياضية مزودة بقانوني تركيب داخليين من أمثلة الحلقات الأكثر شهرة نجد مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية.
الحلقة تحقق ما تحققه الزمرة التبادلية بالنسبة لقانونها الأول، تتلخص شروط كون حلقة كما يلي:
زمرة تبادلية.
القانون توزيعي على القانون في .
القانون تجميعي.
إذا كان تبادليا نقول إن الحلقة تبادلية أما إذا كان له عنصر محايد فتسمى حلقة واحدية.
في حلقة نسمي عادة القانون الأول ونسمي القانون الثاني نسمي كذلك العنصر المحايد بالنسبة للقانون الأول صفر الحلقة ويمكن الرمز له ب والعنصر المحايد بالنسبة للقانون الثاني واحد أو وحدة الحلقة ونرمز له ب ومن أجل تسهيل الحساب نرمز للقانون الأول ب والثاني ب تبقى كل هذه التغييرات مجرد ترميزات ولا ينبغي لنا الخلط.[4]
الجسم
الجسم عبارة عن حلقة واحدية تتحقق فيها القسمة أي أن كل عنصر ما عدا صفرالحلقة له مماثل (يسمى أيضا متمم أو مقلوب أو مقابل) من أمثلة الأجسام مجموعة الأعداد الحقيقية المزودة ب و
عموما فإن كل جسم يحقق ما يلي: