القاطع الخارجي (exsec أو exs ) وقاطع التمام الخارجي (excosec أو excsc أو exc ) هي دالتان مثلثيتان معرفتان بدلالة دالتي القاطع وقاطع التمام . استعملت لتكون مهمة في مجالات مثل مسح الأراضي وهندسة السكك الحديدية والهندسة المدنية وعلم الفلك وحساب المثلثات الكروية ويمكن أن تساعد في تحسين الدقة، ولكن نادرًا ما تستخدم اليوم باستثناء تبسيط بعض الحسابات.
دائرة الوحدة بدوال مثلثية .
يمكن إنشاء الدوال المثلثية، بما في ذلك دالة القاطع الخارجي هندسيًا بدائرة وحدة متمركزة في O. القاطع الخارجي هو القطعة المستقيمة DE من القاطع الخارجة عن الدائرة. القاطع الخارجي: دالة مثلثية تعرف بدلالة دالة القاطع:
exsec
-->
(
θ θ -->
)
=
sec
-->
(
θ θ -->
)
− − -->
1
=
1
cos
-->
(
θ θ -->
)
− − -->
1.
{\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-1={\frac {1}{\cos(\theta )}}-1.}
القاطع الخارجي من خلال الإنشاء البياني للدوال المثلثية المختلفة من دائرة الوحدة ، مثل التي تم استخدامها تاريخيًا. sec ( θ ) هو المستقيم القاطع OE DE خارج الدائرة (بادئة ex ذات أصل لاتيني وتعني "خارج").
القاطع الخارجي (بالأزرق) وقاطع التمام الخارجي (بالأخضر) قاطع التمام الخارجي هي قاطع الزاوية المتممة :
excsc
-->
(
θ θ -->
)
=
exsec
-->
(
π π -->
2
− − -->
θ θ -->
)
=
csc
-->
(
θ θ -->
)
− − -->
1
=
1
sin
-->
(
θ θ -->
)
− − -->
1.
{\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc(\theta )-1={\frac {1}{\sin(\theta )}}-1.}
مهمة في مجالات مثل مسح الأراضي ، هندسة السكك الحديدية (على سبيل المثال لرسم منحنيات سكك الحديد والمميل )، والهندسة المدنية ، وعلم الفلك ، وحساب المثلثات الكروية حتى الثمانينيات، أصبحت دالة القاطع الخارجي الآن قليلة الاستخدام. ويرجع ذلك أساسًا إلى أن التوافر الواسع للآلات الحاسبة والحواسيب قد أزال الحاجة إلى الجداول المثلثية للدوال المتخصصة مثل هذه الدالة.
d
d
θ θ -->
exsec
-->
(
θ θ -->
)
=
tan
-->
(
θ θ -->
)
sec
-->
(
θ θ -->
)
=
sin
-->
(
θ θ -->
)
(
cos
-->
(
θ θ -->
)
)
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\sec(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{(\cos(\theta ))^{2}}}}
d
d
θ θ -->
excsc
-->
(
θ θ -->
)
=
− − -->
cot
-->
(
θ θ -->
)
csc
-->
(
θ θ -->
)
=
− − -->
cos
-->
(
θ θ -->
)
(
sin
-->
(
θ θ -->
)
)
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {excsc} (\theta )=-\cot(\theta )\csc(\theta )={\frac {-\cos(\theta )}{(\sin(\theta ))^{2}}}}
∫ ∫ -->
exsec
-->
(
θ θ -->
)
d
θ θ -->
=
ln
-->
[
cos
-->
(
θ θ -->
2
)
+
sin
-->
(
θ θ -->
2
)
]
− − -->
ln
-->
[
cos
-->
(
θ θ -->
2
)
− − -->
sin
-->
(
θ θ -->
2
)
]
− − -->
θ θ -->
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {exsec} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}
∫ ∫ -->
excsc
-->
(
θ θ -->
)
d
θ θ -->
=
ln
-->
[
tan
-->
(
θ θ -->
2
)
]
− − -->
θ θ -->
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {excsc} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}
الدالتان العكسيتان قوس القاطع الخارجي و قوس قاطع التمام الخارجي موجودة أيضًا:
arcexsec
-->
(
y
)
=
arcsec
-->
(
y
+
1
)
=
arccos
-->
(
1
y
+
1
)
=
arctan
-->
(
y
2
+
2
y
)
{\displaystyle \operatorname {arcexsec} (y)=\operatorname {arcsec}(y+1)=\arccos \left({\frac {1}{y+1}}\right)=\arctan({\sqrt {y^{2}+2y}})}
y ≤ −2 أو y ≥ 0)
arcexcsc
-->
(
y
)
=
arccsc
-->
(
y
+
1
)
=
arcsin
-->
(
1
y
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcexcsc} (y)=\operatorname {arccsc}(y+1)=\arcsin \left({\frac {1}{y+1}}\right)}
مشتقة من دائرة الوحدة:
exsec
-->
(
θ θ -->
)
=
sec
-->
(
θ θ -->
)
− − -->
cos
-->
(
θ θ -->
)
− − -->
versin
-->
(
θ θ -->
)
.
{\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-\cos(\theta )-\operatorname {versin} (\theta ).}
excsc
-->
(
θ θ -->
)
=
csc
-->
(
θ θ -->
)
− − -->
sin
-->
(
θ θ -->
)
− − -->
coversin
-->
(
θ θ -->
)
.
{\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {csc} (\theta )-\sin(\theta )-\operatorname {coversin} (\theta ).}
الظل بـ:
exsec
-->
(
θ θ -->
)
=
tan
-->
(
θ θ -->
)
tan
-->
(
θ θ -->
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right).}
ظل التمام بـ:
excsc
-->
(
θ θ -->
)
=
cot
-->
(
θ θ -->
)
cot
-->
(
θ θ -->
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\cot(\theta )\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right).}
الجيب بـ:
exsec
-->
(
θ θ -->
)
=
1
1
− − -->
(
sin
-->
(
θ θ -->
)
)
2
− − -->
1.
{\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\sin(\theta ))^{2}}}}-1.}
جيب التمام بـ:
excsc
-->
(
θ θ -->
)
=
1
1
− − -->
(
cos
-->
(
θ θ -->
)
)
2
− − -->
1.
{\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\cos(\theta ))^{2}}}}-1.}
المستوى العقدي .
lim
θ θ -->
→ → -->
0
exsec
-->
(
θ θ -->
)
θ θ -->
=
0
{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )}{\theta }}=0}
[ 1]
versin
-->
(
θ θ -->
)
+
coversin
-->
(
θ θ -->
)
versin
-->
(
θ θ -->
)
− − -->
coversin
-->
(
θ θ -->
)
− − -->
exsec
-->
(
θ θ -->
)
+
excsc
-->
(
θ θ -->
)
exsec
-->
(
θ θ -->
)
− − -->
excsc
-->
(
θ θ -->
)
=
2
versin
-->
(
θ θ -->
)
coversin
-->
(
θ θ -->
)
versin
-->
(
θ θ -->
)
− − -->
coversin
-->
(
θ θ -->
)
{\displaystyle {\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}}
[ 1]
(
exsec
-->
(
θ θ -->
)
+
versin
-->
(
θ θ -->
)
)
(
excsc
-->
(
θ θ -->
)
+
coversin
-->
(
θ θ -->
)
)
=
sin
-->
(
θ θ -->
)
cos
-->
(
θ θ -->
)
{\displaystyle (\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {versin} (\theta ))\,(\operatorname {excsc} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta ))=\sin(\theta )\cos(\theta )}
[ 1]
exsec
-->
(
2
θ θ -->
)
=
2
sin
2
-->
(
θ θ -->
)
1
− − -->
2
sin
2
-->
(
θ θ -->
)
{\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )={\frac {2\sin ^{2}(\theta )}{1-2\sin ^{2}(\theta )}}}
[ 1]
exsec
-->
(
2
θ θ -->
)
cos
-->
(
2
θ θ -->
)
=
tan
-->
(
θ θ -->
)
{\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )\,\cos(2\theta )=\tan(\theta )}
[ 1]
exsec
2
-->
(
θ θ -->
)
+
2
exsec
-->
(
θ θ -->
)
=
tan
2
-->
(
θ θ -->
)
{\displaystyle \operatorname {exsec} ^{2}(\theta )+2\operatorname {exsec} (\theta )=\tan ^{2}(\theta )}
[ 1]
^ ا ب ج د ه و Hall، Arthur Graham؛ Frink، Fred Goodrich (يناير 1909). "Review Exercises [100] Secondary Trigonometric Functions". كتب في Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometry هنري هولت وشركاه / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. ج. Part I: Plane Trigonometry. ص. 125. مؤرشف من الأصل في 2020-12-28. اطلع عليه بتاريخ 2017-08-12 .
![{\displaystyle \int \operatorname {exsec} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4023beda8fb65a34b16efb3b5d4ca17302b8b82e)
![{\displaystyle \int \operatorname {excsc} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a6dcd03b3efddd2ef0bb822bf70f9505556913)
