في الرياضيات ، التواء دركليه عملية ثنائية معرفة للدوال الحسابية ، ذات أهمية في نظرية الأعداد . سميت لمطورها يوهان بيتر غوستاف لوجون دركليه عالم الرياضيات الألماني.
إذا كان (ƒ) و(g ) دالتين حسابيتين - أي دالتين من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد المركبة - يمكن تعريف دالة حسابية جديدة (ƒ * g ) تسمى التفاف دركليه لـ(ƒ) و(g ) كالآتي:
(
f
∗ ∗ -->
g
)
(
n
)
=
∑ ∑ -->
d
∣ ∣ -->
n
f
(
d
)
g
(
n
d
)
=
∑ ∑ -->
a
b
=
n
f
(
a
)
g
(
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(n)&=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)\\&=\sum _{ab\,=\,n}f(a)g(b)\end{aligned}}}
حيث يمتد المجموع على كل القواسم الموجبة (d ) لـ(n )، أو بالتكافؤ يمتد على كل زوج (a ) و(b ) من الأعداد الطبيعية جداءها (n ).
تشكل مجموعةُ الدوال الحسابية حلقة تبديلية تسمى «حلقة دركليه» تحت عمليتي الجمع نقطة بنقطة - بمعنى أن (ƒ + g ) تعرف بأنها تتبع أمرين:
(ƒ + g )(n )= ƒ(n ) + g (n )
التفاف دركليه. والدالة المحايدة الجدائية (ε ) تعرف كالآتي:
ε (n ) = 1 لو n = 1ε (n ) = 1 لو n > 1والواحدات (أو العناصر العكوسة) لهذه الحلقة هي الدوال (ƒ) التي تلتزم بالآتي (ƒ(1) ≠ 0).
وبالتحديد، لالتفاف دركليه الخواص الآتية:
(ƒ * g ) * h = ƒ * (g * h ) ƒ * (g + h ) = ƒ * g + ƒ * h = (g + h ) * ƒ ƒ * g = g * ƒ ƒ * ε = ε * ƒ = ƒ إضافة لذلك، لكل (ƒ) خاضع للآتي (ƒ(1 ) ≠ 0) يوجد (g ) بحيث ƒ * g = ε ويسمى «محايد الدركليه (ƒ)»
وتطبيق التفاف دركليه على دالتين جدائيتين ينتج دالة جدائية ثالثة، ولكل دالة جدائية محايد دركليه جدائي أيضا.
وإذا كانت (ƒ) دالة جدائية تماما يكون (ƒ (g *h ) = (ƒ g )*(ƒ h )) حيث يمثل التصاق حرفين جداء نقطة بنقطة . والتفاف دالتين جدائيتين تماما ينتج دالة جدائية بالتأكيد الضمني [الإنجليزية]
إذا كان (ƒ) دالة حسابية، ممكن تعريف دالة توليد متسلسلة دركليه لها بالآتي
D
G
(
f
;
s
)
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
f
(
n
)
n
s
{\displaystyle DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
لكل عمدة مركب (s ) تتقارب له المتسلسلة (إذا وجد). ويكون جداء متسلسلات دركليه منسجما [الإنجليزية]
D
G
(
f
;
s
)
D
G
(
g
;
s
)
=
D
G
(
f
∗ ∗ -->
g
;
s
)
{\displaystyle DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,}
لكل (s ) تتقارب له كلتا المتسلسلتان على يسار المعادلة، ويجب أن تحقق إحداهم التقارب المطلق . ويجب الانتبه إلى أن تقارب متسلسلتا اليسار لا يمكن الاستنتاج منه أي تقارب في يمين المعادلة. والمذكور شبيه بمبرهنة الالتفاف إذا نظرنا لمتسلسلة دركليه أنها تحويل فورييه .
يؤدي تقييد قواسم الالتفاف لتحتصر على القواسم الوحدوية [الإنجليزية] الثاني وحدوية [الإنجليزية] اللانهائية [الإنجليزية] عمليات تبديلية مشابهة لها الكثير من السمات المشتركة مع التفاف دركليه (مثل وجود عاكس موبيوس [الإنجليزية] ومداومة [الإنجليزية] مؤشرات أويلر ، وصيغات جدائية من نوعية أويلر على الأعداد الأولية المرتبطة، إلخ).
