Coordenades homogènies

En matemàtiques, i més concretament en geometria projectiva, les coordenades homogènies són un instrument usat per descriure un punt a l'espai projectiu. Van ser introduïdes pel matemàtic alemany August Ferdinand Möbius l'any 1837.

També poden utilitzar-se com un sistema alternatiu de coordenades per treballar a l'espai euclidià, perquè aquest pot veure's com un subconjunt de l'espai projectiu. D'aquesta manera, les coordenades homogènies són àmpliament usades en infografia per a la representació d'escenes en tres dimensions. La seva notació en forma matricial s'empra en biblioteques de programació gràfica en 3D com OpenGL i Direct3D.

En coordenades homogènies, tot punt bidimensional està definit per tres coordenades. De tal manera que un punt de dimensions ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, l'hi representa per la terna: ${\displaystyle x/w}$, ${\displaystyle y/w}$, ${\displaystyle w}$.

Matemàticament, les coordenades ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ es troben dividint els dos primers nombres entre el tercer, respectivament.

En dues dimensions, el seu valor es pot trobar més fàcilment si ${\displaystyle w=1}$, per simplificació. En tres dimensions, sol ocórrer el mateix ${\displaystyle w=1}$.

Bàsicament, es tracta d'ampliar el plànol euclidià (en el cas bidimensional) al plànol projectiu, és a dir, incloure-li els punts impropis o de l'infinit.

Així, un punt impropi és aquell on ${\displaystyle w=0}$.

Una conseqüència d'aquesta escriptura és que un punt propi té infinites formes d'escriure-ho, tot dependrà dels quocients ${\displaystyle x/w}$ i ${\displaystyle y/w}$ (amb ${\displaystyle w}$ diferent de ${\displaystyle 0}$).

• Apuntes de Gráficos Arxivat 2009-05-20 a Wayback Machine. (castellà)