Força central

Una força central és una força que està dirigida al llarg d'una recta radial a un centre fix i la magnitud de la qual només depèn de la coordenada radial ${\displaystyle r}$:^[1]

${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$

on ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ és un vector unitari dirigit radialment des de l'origen.

El vector força és sempre paral·lel al vector posició. L'origen creador de la força s'anomena centre del moviment.^[2]

Una força central és sempre una força conservativa. Les forces conservatives no depenen del temps i satisfan que el seu rotacional és nul. Es poden expressar com el gradient del seu potencial amb el signe canviat:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=0}$

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} )}$

En els camps de forces centrals el moment angular es conserva:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {\dot {r}} ={\mbox{const}}}$

Això és degut al fet que el moment de forces és nul (${\displaystyle \mathbf {\mathbf {\tau } } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =0}$), ja que el vector força és sempre paral·lel al de posició. Com a conseqüència, el cos sotmès a la força es mou en un pla.

Si el moment angular és nul, el cos descriu un moviment rectilini amb acceleració no constant a través de la recta que l'uneix a l'origen.^[3]

Els casos més familiars de forces centrals són les forces de la gravetat i l'electroestàtica. Ambdós són exemples de forces proporcionals a l'invers del quadrat de la distància: ${\displaystyle F(r)\propto 1/r^{2}}$. Un altre exemple és l'oscil·lador harmònic, on ${\displaystyle F(r)\propto r}$ i és de signe negatiu.

El teorema de Bertrand demostra que les forces del tipus ${\displaystyle F(r)=-k/r^{2}}$ i ${\displaystyle F(r)=-kr}$ són les úniques forces centrals que produeixen òrbites tancades estables.^[4]