Paral·lelisme (geometria)

En geometria, el paral·lelisme és una relació que s'estableix entre rectes o plans.^[1]

Dues rectes contingudes en un pla són paral·leles si bé són una i la mateixa recta o per contra no comparteixen cap punt. En el pla cartesià, dues rectes són paral·leles si tenen la mateixa pendent.^[2][3][4][5]

De manera semblant, en l'espai, dos plans són paral·lels si bé són un i el mateix pla o bé no comparteixen cap punt.^[6]

${\displaystyle a\parallel b}$ (recta paral·lela ab)

L'axioma que distingeix a la geometria euclidiana d'altres geometries és el següent: En un pla, per un punt exterior a una recta passa una i només una paral·lela a aquesta recta.

• Reflexiva: Tota recta és paral·lela a si mateixa:

a || a

• Simètrica: Si una recta és paral·lela a una altra, aquella és paral·lela a la primera:

Si a || b ${\displaystyle \Rightarrow }$ b || a

Aquestes dues propietats es dedueixen de la intersecció de conjunts i no depenen de l'axioma d'unicitat.

• Transit: Si una recta és paral·lela a una altra, i aquesta al seu torn paral·lela a una tercera, la primera és paral·lela a la tercera:

Si a || b ${\displaystyle \wedge }$ b || c ${\displaystyle \Rightarrow }$ a || c

• En un pla, dues rectes perpendiculars a una tercera són paral·leles entre si.
• Si una recta talla a una altra recta, llavors talla a totes les paral·leles d'aquesta (en un pla).

Les demostracions d'aquests dos teoremes i la tercera propietat, fan servir l'axioma d'unicitat.

• Cinquè postulat d'Euclides