Differenzengleichung (Differenzenverfahren)

Eine Differenzengleichung ist eine numerisch lösbare rekursive Berechnungsvorschrift für eine diskret definierte Folge von nummerierten Folgeelementen bzw. Stützstellen ${\displaystyle y_{k}}$ im Abstand eines meist konstanten Intervalls ${\displaystyle \Delta x}$ oder bei zeitabhängigen Systemen ${\displaystyle \Delta t}$.

Differenzengleichungen werden zur numerischen Berechnung in vielen wissenschaftlichen Disziplinen – wie Wirtschaft, Medizin, Technik, Elektrotechnik, Regelungstechnik, Kybernetik, Informatik, Akustik und andere – eingesetzt.

Eine Differenzengleichung steht in enger Beziehung zu einer Differentialgleichung. Die Differenzengleichung entsteht z. B., wenn der Differenzialquotient einer zu berechnenden Differenzialgleichung durch einen Differenzenquotient ausgetauscht wird. Durch diesen Vorgang entsteht automatisch das rekursive Verhalten der Differenzengleichung, bei der sich je nach Ordnung ${\displaystyle n}$ jedes aktuelle Folgeelement ${\displaystyle y_{k}}$ sich auf ein oder mehrere zurückliegende Folgeelemente bezieht.

In der numerischen Mathematik werden zur Behandlung und Lösung von meist gewöhnlichen Differenzialgleichungen die kontinuierlichen Funktionswerte in Abhängigkeit von konstanten Intervallen hintereinander berechnet. Eine Differenzengleichung (auch Rekursionsgleichung genannt) ist eine Gleichung, die anstelle eines Differenzialquotienten einen Differenzenquotienten enthält. Sie ist von n-ter Ordnung, wenn die höchste Ordnung der vorkommenden Differenzen gleich ${\displaystyle n}$ ist.

Die nachfolgende Beschreibung des Artikels bezieht sich auf das Einschrittverfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen 1. und 2. Ordnung und den Differenzialgleichungen dynamischer Systeme ${\displaystyle G(s)}$ mit den Ein- und Ausgangsfolgen in Abhängigkeit von der Zeit.

Zu den bekanntesten einfachsten Einschrittverfahren bei Differenzengleichungen gehört des explizite Eulerverfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen.

${\displaystyle \to }$ siehe auch Explizites Euler-Verfahren

${\displaystyle \to }$ siehe auch Implizites Euler-Verfahren

${\displaystyle \to }$ siehe auch Lineare Differenzengleichung

• Folgen

Bei einer Differenzengleichung handelt es sich um eine rekursive Folge von nummerierten Elementen, also um eine Aufzählung von Zahlen. Rekursiv bedeutet in der Mathematik: jedes Folgeelement bezieht sich bei einer Differenzengleichung 1. Ordnung auf das zurückliegende Folgeelement.

Eine Differenzengleichungen höherer Ordnung verknüpft die Werte der Ausgangsfolgen an zwei, drei oder mehreren zurückliegenden Zeitpunkten:

${\displaystyle y_{k}=f(x_{k},y_{k-1},y_{k-2},y_{k-3},\dots )}$.

Je nach Art der Differenzialgleichung und der zugehörigen Differenzengleichung erhalten die Eingangs- und Ausgangsfolgeglieder der Differenzengleichung für die Nummerierung die Indizierung ${\displaystyle k}$.

${\displaystyle k=[0,1,2,3,\dotsc ,k_{\text{max}}]}$

• Numerische Lösung:

Die numerische Lösung einer Differenzengleichung erfolgt rekursiv über viele Berechnungsfolgen und stellt sich meist als eine tabellarisch geordnete Aufstellung von System-Ausgangsfolgen ${\displaystyle y_{k}}$ (Stützstellen, Knoten) in Abhängigkeit der Bezugsgröße ${\displaystyle x_{k}}$ dar.

Bei dynamischen Systemen besteht die Abhängigkeit der Ausgangsgröße ${\displaystyle y_{k}}$ von der Eingangsfolge ${\displaystyle u_{k}}$ und dem Zeitschritt ${\displaystyle h}$. Die Eingangsfolge ${\displaystyle u_{k}(t_{k})}$ hat keine rekursive Beziehung zu einem zurückliegenden Folgeglied ${\displaystyle u_{k-1}}$.

• Schrittweite ${\displaystyle \Delta t=h}$:

Im Gegensatz zu einem kontinuierlichen Signalverlauf ist bei einem zeitdiskreten Signal die Größe der Signalinformation nur zu bestimmten Zeitpunkten definiert. Die Differenz von 2 benachbarten Zeitpunkten wird als Schrittweite definiert.

Die Anzahl der Folgeglieder ${\displaystyle n}$ ist bei zeitabhängigen Systemen durch den gewünschten Darstellungszeitraum ${\displaystyle t_{\text{max}}}$ und die Genauigkeit der Approximation an die analytische Funktion durch die gewünschte Schrittweite ${\displaystyle h}$ der Folgeglieder bestimmt. Je kleiner ${\displaystyle h}$ ist, umso größer ist die Genauigkeit der Berechnung.

Die Lösung der Differenzengleichung stellt sich als eine tabellarische Folge mit allen relevanten Größen wie die Folge k, zunehmende diskrete Zeit: ${\displaystyle k\cdot \Delta t}$, Ausgangsfolge ${\displaystyle y_{k}}$, Eingangsfolge ${\displaystyle u_{k}}$ dar.

Die Tabellengröße (Zeilen) wird bestimmt durch die Anzahl der Folgeglieder. Es gilt die Beziehung:

${\displaystyle {\text{Anzahl der Folgen}}={\frac {t_{\text{max}}}{h}}+1.\qquad }$ ${\displaystyle t_{\text{max}}}$ ist der Darstellungszeitraum, ${\displaystyle h=}$ Schrittzeit.

• Variablen:

Einfache gewöhnliche Differenzialgleichungen ${\displaystyle y'(x)=f(x,y)}$ haben als abhängige Variable die Größe ${\displaystyle y(x)}$ und als unabhängige Variable die Größe ${\displaystyle x}$.

Bei Differenzialgleichungen von dynamischen Systemen bzw. gewöhnlichen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ${\displaystyle y'(t)=f(t,u(t),y(t))}$ werden die physikalischen Größen als Ausgangsvariable ${\displaystyle y(t)}$, die Eingangsvariable ${\displaystyle u(t)}$ und die unabhängige Variable ${\displaystyle t}$ definiert.

Definitionen der Ein- und Ausgangsfolgen:

• ${\displaystyle y_{k}}$ ist ein nummeriertes Element (Folgeglied) der rekursiven Ausgangsfolge des Systems mit ${\displaystyle k=0{\text{ bis }}k=k_{\text{max}}}$. Jedes rekursive Folgeglied ${\displaystyle y_{k}}$ einer Differenzengleichung 1. Ordnung bezieht sich auf ein zurückliegendes Folgeglied ${\displaystyle y_{k-1}}$.
• ${\displaystyle u_{k}}$ ist ein nummeriertes Element der Eingangsfolge des Systems mit ${\displaystyle k=0{\text{ bis }}k=k_{\text{max}}}$. Die Eingangsfolge ist nicht rekursiv, sie kann z. B. eine normierte Sprungfunktion ${\displaystyle u_{k}=1(t_{k})}$ für alle Eingangsfolgen sein, oder die Ausgangsfolge ${\displaystyle y_{k}}$ eines anderen vorgeschalteten dynamischen Systems oder eine Tabelle sein.
• ${\displaystyle y_{k+1}}$ entspricht dem nächsten beliebig nummerierten Folgeglied ${\displaystyle y_{k}}$ nach einem Rechenschritt ${\displaystyle \Delta t=h}$.
• ${\displaystyle y_{k-1}}$ entspricht einem zurückliegenden beliebig nummeriertem Folgeglied ${\displaystyle y_{k}}$ vor einem Rechenschritt ${\displaystyle \Delta t=h}$.

Für einfache numerische Berechnungen wie Zinseszins, Bevölkerungswachstum, Flüssigkeit in Behältern entleeren / füllen, liegen keine Differenzialgleichungen vor. Für diese Aufgaben müssen die rekursiven Folgeglieder von einem Anfangswert ${\displaystyle y_{0}}$ ausgehend für die unabhängige Variable ${\displaystyle t}$, der Anzahl der Folgeglieder ${\displaystyle k_{\text{max}}}$, der Zeitschrittweite ${\displaystyle h}$, bestimmt werden. Sie enthält die Wertefolgen einer Variablen ${\displaystyle y_{k}}$ zu steigenden oder fallenden Zeitpunkten. Aus jedem zurückliegenden Folgeglied wird das nächste Folgeglied errechnet.

Dabei wird bei den Folgegliedern unterschieden:

• Bei der arithmetischen Folge wächst oder fällt jedes Folgeglied um einen festen Betrag. (Beispiel: Sparschwein)
• Bei der exponentiellen Folge wächst oder fällt jedes Folgeglied um einen relativen Anteil. (Beispiel: Zinseszins)

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}\pm C\cdot y_{k}\cdot h=(1\pm C\cdot h)\cdot y_{k}}$

Für einen derartigen Typ Differenzengleichung lässt sich der Wert einer beliebigen Folge ${\displaystyle k}$ direkt algebraisch aus dem Anfangswert ${\displaystyle y_{0}}$ berechnen.

Die zugehörige Gleichung als Folge mit dem Verlauf einer Exponentialfunktion mit ${\displaystyle k}$ im Exponenten lautet:

${\displaystyle y_{k}=(1\pm C\cdot h)^{k}\cdot y_{0}}$

Dabei ist ${\displaystyle C}$ eine Konstante und ${\displaystyle h}$ die Schrittweite.

Sie entspricht auch der Formel zur Berechnung von Zinseszins:

Kapital ${\displaystyle K=\left(1+{\frac {p}{100}}\cdot 1\,{\text{Jahr}}\right)^{n\,{\text{Jahre}}}\cdot K_{0}}$

Der Wachstumsfaktor für eine steigende Funktion einer Folge lautet:

${\displaystyle q={\frac {K_{k+1}}{K_{k}}}=\left(1+{\frac {p}{100}}\right)}$

Gegeben: Stand der Bevölkerung eines Staates zu Beginn: ${\displaystyle B_{0}=20}$ Millionen Konstantes Bevölkerungswachstum (Geburtenrate - Sterberate): ${\displaystyle G=4\,\%}$ pro Jahr Die Schrittweite beträgt ${\displaystyle h=1}$ Jahr Anfangswert: ${\displaystyle B_{0}=20}$ Millionen am Anfang des ersten Jahres Gesucht: Aufstellung der Differenzengleichung, Entwicklung der Bevölkerungszahl ${\displaystyle B_{50}}$ nach 50 Jahren Differenzengleichung: ${\displaystyle B_{k+1}=B_{k}+B_{k}\cdot a\cdot h=B_{k}+B_{k}\cdot {\frac {0{,}04}{1\,{\text{Jahr}}}}\cdot 1\,{\text{Jahr}}=B_{k}\cdot 1{,}04}$ ${\displaystyle 1{,}04}$ ist hier der Wachstumsfaktor pro Folgeglied. Entwicklung der Folgeglieder durch Differenzengleichungen oder durch Exponentialdarstellung: k Jahr Bevölkerung ${\displaystyle B_{k+1}=B_{k}+B_{k}\cdot 0{,}04}$ in Millionen ${\displaystyle =B_{k}\cdot (1+G/100)}$ 0 0 ${\displaystyle B_{0}=20}$ 1 1 ${\displaystyle B_{1}=20+20\cdot 0{,}04=20{,}8}$ 2 2 ${\displaystyle B_{2}=20{,}8+20{,}8\cdot 0{,}04=21{,}632}$ 3 3 ${\displaystyle B_{3}=21{,}632+21{,}632\cdot 0{,}04=22{,}49728}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ 50 50 ${\displaystyle B_{50}=20\cdot 1{,}04^{50}=142{,}1336669}$ Für diese Differenzengleichung kann für jede Folge auch die exponentielle Form benutzt werden: ${\displaystyle B_{k}=B_{0}\cdot (1+G/100)^{k}}$ Die Ergebnisse der Folgegleichungen ergeben Stützstellen mit exponentiellem Wachstum.

Anmerkung: Ein wie mit dieser linearen Differenzengleichung berechnetes ungebremstes Wachstum wird es in der Praxis nicht geben, weil andere Einflüsse wie etwa Nahrungsmittelknappheit dagegen wirken.

Gewöhnliche lineare Differenzialgleichungen, die z. B. ein dynamisches System 1. Ordnung wie:

${\displaystyle a_{1}\cdot y'(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)}$

beschreiben, können nach dem Differenzenverfahren relativ einfach in eine Differenzengleichung überführt werden. Dies geschieht dadurch, dass die Differenzialquotienten der Differenzialgleichung direkt durch die verschiedenen Formen der Differenzenquotienten ausgetauscht werden. Damit entsteht automatisch die rekursive Differenzengleichung.^[1]

Der Vorwärts-Differenzenquotient einer Differenzengleichung mit der Schrittweite ${\displaystyle h}$ lautet:

${\displaystyle y'(t)={\frac {dy}{dt}}\approx {\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {y_{k+1}-y_{k}}{h}}}$

Für differenzierende Systeme bezieht sich der Differenzenquotient auf das Eingangssignal ${\displaystyle u_{k}}$:

${\displaystyle u'(t)={\frac {du}{dt}}\approx {\frac {\Delta u}{\Delta t}}={\frac {u_{(k+1)}-u_{(k)}}{h}}}$

Rückwärts-Differenzenquotient einer Differenzengleichung:

${\displaystyle y'(t)={\frac {dy}{dt}}\approx {\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {y_{k}-y_{k-1}}{h}}}$

Für differenzierende Systeme bezieht sich der Differenzenquotient auf das Eingangssignal ${\displaystyle u_{k}}$.

${\displaystyle u'(t)={\frac {du}{dt}}\approx {\frac {\Delta u}{\Delta t}}={\frac {u_{k}-u_{(k-1)}}{h}}}$

Zentraler Differenzenquotient einer Differenzengleichung:

${\displaystyle y'(t)={\frac {du}{dt}}\approx {\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {y_{k+1}-y_{k-1}}{2\cdot {h}}}}$

Wird der zentrale Differenzenquotient in eine Differenzialgleichung eingesetzt, handelt es sich nicht um einen arithmetischen Mittelwert zweier Verfahren. Die hohe Genauigkeit der Annäherung an eine analytische Funktion steigt nicht mit fallendem Wert von ${\displaystyle h}$, sondern mit dem Quadrat des fallenden Wertes von ${\displaystyle h}$.

Die Lösung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung 1. Ordnung ergibt in der Regel eine allgemeine Lösung in Form einer Funktionenschar mit unendlich vielen Lösungen mit ähnlichem Verhalten. Die Lösung eines Anfangswertproblems ist die Lösung der Differentialgleichung unter zusätzlicher Berücksichtigung eines Anfangswertes. Kennt man den Anfangszustand der Differenzialgleichung mit dem Anfangswert ${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$ der unabhängigen Variablen für ${\displaystyle x=0}$, ergibt sich die spezielle Lösung der Differenzialgleichung.

Bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen kann durch Integration die Stammfunktion mit der Integrationskonstante C gebildet werden. Stammfunktion und Integrationskonstante müssen für eine exakte Lösung errechnet werden. Andere Methoden zur Lösung des Anfangswertproblems beschreiben eine Funktionenschar multiplikativ mit dem Scharparameter C.^[2][3]

• In vielen Anwendungsfällen findet sich keine geschlossene Lösung der Differenzialgleichung, man ist daher auf numerische Verfahren angewiesen.
• Der Anfangswert ${\displaystyle y_{0}}$ für ${\displaystyle x=0}$ wird für die Lösung des Anfangswertproblems immer vorgegeben.

Als historisch einfachstes Verfahren zur Herleitung der Differenzengleichungen wird meistens das explizite Euler-Streckenzugverfahren genannt.^[4][5]

Wird die Ableitung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung ${\displaystyle y'(x)=f(x,y)}$ durch den Vorwärts-Differenzenquotienten ersetzt,

${\displaystyle y'(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\approx {\frac {y(x+h)-y(x)}{(x+h)-x}}:={\frac {y_{k+1}-y_{k}}{h}}}$

entsteht die explizite Differenzengleichung ${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{h}}=f(x_{k},y_{k})}$.

Allgemeine Form der Differenzengleichung 1. O. nach dem Vorwärts-Differenzenquotienten (entspricht: „Euler-Vorwärts“):

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+f(x_{k},y_{k})\cdot h}$

Je kleiner die Schrittweite ${\displaystyle h}$ ist, umso geringer sind die Integrationsfehler. Andere Verfahren z. B. das Trapezverfahren von Heun oder das Runge-Kutta-Verfahren ermöglichen eine größere Schrittweite bei gleicher Genauigkeit.

Differenzialgleichung: ${\displaystyle y'(x)=y(x)+e^{x}}$ ergibt nach der Integration:^[6]

Analytische Lösung vorgegeben: ${\displaystyle y(x)=(x+y_{0})\cdot e^{x}}$.

Anfangswert ${\displaystyle y_{0}=5}$ gewählt.

Als Schrittweite wird: ${\displaystyle h=0{,}05}$ gewählt.

Gesucht: Differenzengleichung mit Vorwärts-Differenzenquotient, Entwicklung der Folgeglieder.

Entwicklung: Differenzengleichung durch Austausch Differentialquotient gegen Differenzenquotient:

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{h}}=y_{k}+e^{x_{k}}}$

Differenzengleichung:

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+(y_{k}+e^{x_{k}})\cdot h}$

Gerechnet wurde mit der Tabellenkalkulation mit 15-Dezimalstellen-Genauigkeit,
für ${\displaystyle n=50{\text{ Folgen mit }}h=0{,}05}$

Entwicklung der Folgeglieder der Differenzengleichung:

k	${\displaystyle x_{k}}$	Differenzengleichung ${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+h\cdot (y_{k}+e^{x_{k}})}$	Analytische Funktion ${\displaystyle y(x)=(x+5)\cdot e^{x}}$
0	0	${\displaystyle y_{0}=5=}$ Anfangswert	${\displaystyle y_{0}=5}$
1	${\displaystyle 0{,}05}$	${\displaystyle y_{1}=5+h\cdot (5+e^{0})=5{,}3}$	${\displaystyle y_{1}=(x_{1}+5)\cdot e^{x_{1}}=5{,}309}$
2	${\displaystyle 0{,}1}$	${\displaystyle y_{2}=5{,}3+h\cdot (5,3+e^{0,05})=5{,}617}$	${\displaystyle y_{2}=(x_{2}+5)\cdot e^{x_{2}}=5{,}636}$
3	${\displaystyle 0{,}15}$	${\displaystyle y_{3}=5{,}617+h\cdot (5{,}617+e^{0,1})=5{,}953}$	${\displaystyle y_{3}=(x_{3}+5)\cdot e^{x_{3}}=5{,}983}$
4	${\displaystyle 0{,}2}$	${\displaystyle y_{4}=5{,}953+h\cdot (5{,}943+e^{0,15})=6{,}309}$	${\displaystyle y_{4}=(x_{4}+5)\cdot e^{x_{4}}=6{,}351}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
50	${\displaystyle 2{,}5}$	${\displaystyle y_{50}=80{,}884+h\cdot (80{,}884+e^{49})=85{,}446}$	${\displaystyle y_{50}=(x_{50}+5)\cdot e^{x_{50}}=91{,}369}$

Die nichtlineare Bewegungsgleichung für den Fall mit Luftwiderstand lautet:

${\displaystyle m\cdot {\dot {v}}(t)=m\cdot g-c\cdot v^{2}(t)}$

Daten:^[7]

Reibungskoeffizient	Masse	Erdbeschleunigung	Schrittweite
${\displaystyle c}$ = 0,32 kg/m	${\displaystyle m}$ = 80 kg	${\displaystyle g}$ = 10 m/s²	1 s und 0,01 s

Gesucht: Differenzengleichung, Geschwindigkeit ${\displaystyle v(t)}$ der Masse ${\displaystyle m}$.

Differenzengleichung (Vorwärtsdifferenzenquotient):

${\displaystyle {\frac {v_{k+1}-v_{k}}{h}}=g-{\frac {c}{m}}\cdot v_{k}^{2}}$

${\displaystyle v_{k+1}=v_{k}+\left(g-{\frac {c}{m}}\cdot v_{k}^{2}\right)\cdot h}$, Anfangswert: ${\displaystyle v_{0}=0}$

Entwicklung der Folgeglieder der Differenzengleichung bei einer Schrittweite von 1 s:

k	Zeit [s]	Fallgeschwindigkeit ${\displaystyle v(t)\ [\mathrm {m/s} ]}$ ${\displaystyle v_{k+1}=v_{k}+(10-0{,}004\cdot v_{k}^{2})\cdot 1}$
0	0	${\displaystyle v_{0}=0}$
1	1	${\displaystyle v_{1}=0+10-0{,}004\cdot 0=10}$
2	2	${\displaystyle v_{2}=10+10-0{,}004\cdot 10^{2}=19{,}6}$
3	3	${\displaystyle v_{3}=19{,}6+10-0{,}004\cdot 19{,}6^{2}=28{,}063}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
18	18	${\displaystyle v_{18}=49{,}974+10-0{,}004\cdot 49{,}974^{2}=49{,}985}$

Die Ergebnisse der Folgegleichungen ergeben Stützstellen mit asymptotischem Verlauf. Die Fallgeschwindigkeit nimmt ab ${\displaystyle v(t)=50\,\mathrm {m/s} }$ nicht mehr zu. Die Fallstrecke nach der Fallzeit 13 s beträgt etwa 478 m (mit ${\displaystyle h}$ = 0,01 s gerechnet).

Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz lässt sich die Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels für den Auslenkungswinkel ${\displaystyle \varphi }$ herleiten:

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\cdot \sin \left(\varphi \right)=0}$,

mit ${\displaystyle g}$ Erdbeschleunigung und ${\displaystyle l}$ Pendellänge.

Diese Differentialgleichung 2. Ordnung wird nach der höchsten Ableitung aufgelöst:

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}=-{\frac {g}{l}}\sin(\varphi )}$.

Durch die Substitution ${\displaystyle \omega ={\dot {\varphi }}}$ wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung in ein System von 2 Differentialgleichungen erster Ordnung umgewandelt:

${\displaystyle {\dot {\omega }}=-{\frac {g}{l}}\sin(\varphi )}$

${\displaystyle {\dot {\varphi }}=\omega }$,

aus der wie folgt Differenzengleichungen abgeleitet werden. Die erste Differentialgleichung für die Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega }$ kann mit dem expliziten Eulerverfahren integriert werden:

${\displaystyle \omega _{k+1}=\omega _{k}-{\frac {g}{l}}\sin(\varphi _{k})\cdot h,}$ Anfangswert: ${\displaystyle \,\omega _{0}}$

Bei der Integration der zweiten Differentialgleichung kann die zuvor berechnete Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega _{k+1}}$ verwendet werden (Euler rückwärts) was die Genauigkeit erheblich verbessert. Bei der nochmaligen Anwendung des expliziten Euler-Verfahrens würde sich eine aufklingende (instabile) Lösung ergeben.

${\displaystyle \varphi _{k+1}=\varphi _{k}+\omega _{k+1}\cdot h,}$ Anfangswert: ${\displaystyle \,\varphi _{0}}$

Das folgende Skript zeigt die Berechnung in gnuplot:

set print 'osz.dat'
h=0.04
l=0.6
x=0
omega=0; phi=60*pi/180
print x, omega, phi

do for [k=1:100] {
  x=k*h
# Integration
  omega=omega-9.81/l*sin(phi)*h
  phi=phi+omega*h

  print x, omega, phi*180/pi
}
unset print

plot 'osz.dat' using 1:3 title "Numerische Lösung"
…

Lineare dynamische Systeme werden meist als Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ beschrieben. Sie gelten für den für „Ruhezustand“ des Systems mit dem Anfangswert Null und haben einen hohen Bekanntheitsgrad.

Lineare inhomogene Differenzialgleichungen können bei linearen dynamischen Systemen aus der Übertragungsfunktion G(s) mit Hilfe der inversen Laplace-Transformation ermittelt werden. Sie enthalten die abhängigen Variablen ${\displaystyle y(t)}$ und ${\displaystyle u(t)}$. Die unabhängige Variable ist die Zeit ${\displaystyle t}$.

Laut der Systemtheorie existieren nur 6 verschiedene Formen von phasenminimalen Übertragungsfunktionen ${\displaystyle G(s)}$, die einfach oder mehrfach bei dynamischen Systemen vorkommen können. Durch die inverse Laplace-Transformation ergeben sich mit Hilfe des Laplace-Differentiationssatzes Differenzialgleichungen 1. und 2. Ordnung als phasenminimale Elementarsysteme.

Ein Totzeitglied ${\displaystyle y(t)=K\cdot u(t-Tt)}$ ist ein in der Praxis häufig vorkommendes lineares Übertragungsglied. Es entsteht durch Laufzeiten von Material oder Signalen. Die zugehörige Laplace-Transformierte ist keine gebrochene rationale Funktion, wie bei allen anderen linearen Übertragungsgliedern. Es ist aber numerisch leicht zu behandeln.

Tabelle wichtiger regulärer (phasenminimaler) Übertragungsfunktionen in Zeitkonstanten-Darstellung:

Benennung	I-Glied Integration	(ideales) D-Glied Differentiation	(ideales) PD1-Glied Proportional-Differential	PT1-Glied Verzögerung	PT2kk-Glied Verzög. 2.Ord. konj. kompl.	Totzeitglied
Differenzialgleichung	${\displaystyle T_{I}\cdot y'(t)=u(t)}$	${\displaystyle y(t)=T_{v}\cdot u'(t)}$ *)	${\displaystyle y(t)=K_{PD1}\cdot [T_{v}\cdot u'(t)+u(t)]}$ *)	${\displaystyle T_{1}\cdot y'(t)+y(t)=K_{PT1}\cdot u(t)}$	${\displaystyle T^{2}y''(t)+2DTy'(t)+y(t)}$ ${\displaystyle =K_{KP2}\cdot u(t)}$	Differenzialgleichung existiert nicht
Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)=Y(s)/U(s)=}$	${\displaystyle ={\frac {1}{T_{I}\cdot s}}}$	${\displaystyle =T_{V}\cdot s}$	${\displaystyle =K_{PD1}(T_{V}\cdot s+1)}$	${\displaystyle ={\frac {K_{PT1}}{T_{1}\cdot s+1}}}$	${\displaystyle ={\frac {K_{PT2}}{T^{2}s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1}}}$	${\displaystyle =K_{T_{t}}\cdot e^{-T_{t}\cdot s}}$
Sprungantwort ${\displaystyle y(t)}$ (Übergangsfunktion)

${\displaystyle {*})\ \equiv }$ Es handelt sich hier nicht um eine Differenzialgleichung, sondern um eine Funktionsgleichung ${\displaystyle y(t)=f[u'(t)\dots ]}$ mit einer Ableitung ${\displaystyle u'(t)}$ des Eingangssignals. Diese Funktionsgleichungen entstehen durch die inverse Laplace-Transformation der zugehörigen Übertragungsfunktionen G(s).

Die Übertragungsfunktionen ${\displaystyle G(s)}$ funktionsmäßig hintereinander geschalteter Systeme kompensieren sich bei gleichen Parametern vollständig zum Faktor 1, wenn z. B. ein Verzögerungsglied PT1-Glied mit einem „idealen“ PD1-Glied hintereinander geschaltet sind. Das gleiche Verhalten muss auch für alle Folgeglieder der Differenzengleichungen ${\displaystyle y_{k}}$ gelten.

Ideales Element: Beim D-Glied und PD-Glied gilt für ein System, dessen Übertragungsfunktion im Zähler eine höhere Ordnung als im Nenner aufweist (Nullstellenüberschuss), als Hardware (ohne Verzögerungselement) nicht realisierbar. Ideale D- und PD-Glieder lassen sich mit Differenzengleichungen vortrefflich berechnen.

Die 6. Form des dynamischen Systems ${\displaystyle PD_{2kk}}$ wurde nicht dargestellt, weil unbedeutend.

Die Differenzengleichungen 1. Ordnung nach den Verfahren des Vorwärts-Differenzenquotienten und des Rückwärts-Differenzenquotienten unterscheiden sich in der tabellarischen Anordnung nur durch eine Berechnungsfolge.^[8]

Beim Verfahren nach dem Vorwärts-Differenzenquotienten ${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{h}}}$ stehen nur die Ausgangsvariablen ${\displaystyle y_{k+1}}$ und ${\displaystyle y_{k}}$ zur Verfügung. Gesucht wird die Differenzengleichung nach ${\displaystyle y_{k+1}}$.

Beim Verfahren nach dem Rückwärts-Differenzenquotienten ${\displaystyle {\frac {y_{k}-y_{k-1}}{h}}}$ stehen nur die Ausgangsvariablen ${\displaystyle y_{k}}$ und ${\displaystyle y_{k-1}}$ zur Verfügung. Gesucht wird die Differenzengleichung nach ${\displaystyle y_{k}}$.

Bei dem Vorwärts-Verfahren wird für ${\displaystyle k=0}$ und ${\displaystyle t=0}$ dem 1. Folgeglied ein Anfangswert ${\displaystyle y_{0}}$ zugeordnet. Erst das zweite Folgeglied mit ${\displaystyle y_{1}}$ und alle weiteren Folgeglieder ${\displaystyle y_{1}\to y_{\text{max}}}$ werden aus der Differenzengleichung rekursiv berechnet.

Das Rückwärtsverfahren berechnet mit der betreffenden Differenzengleichung ab ${\displaystyle t=0}$ und ${\displaystyle k=0{\text{ bis }}k=k_{\text{max}}}$ alle Folgeglieder des dynamischen Systems. Entsprechend dem rekursiven Verfahren erhöht oder vermindert sich jedes Folgeglied für einen Zeitschritt ${\displaystyle h}$ um einen konstanten Betrag in Abhängigkeit von den Systemparametern. Dies bedeutet, dass das 1. Folgeglied bei ${\displaystyle k=0{\text{ und }}t=0}$ bereits einen kleinen Wert, je nach Größe von ${\displaystyle h}$ erhält, obwohl der Anfangswert des Systems den Wert z. B. Null haben sollte.

Mit der nachfolgenden Aufstellung der Differenzengleichungen der Übertragungsglieder G(s) erster Ordnung lassen sich alle linearen Systeme höherer Ordnung zerlegen. Nach der Nullstellenanalyse von DGL höherer Ordnung entstehen unabhängige Systeme 1. O. und bei Systemen mit konjugiert komplexen Nullstellen unabhängige Systeme 2. Ordnung. Mit der Anwendung von Zustandsvariablen können alle DGL höherer Ordnung in gekoppelte DGL 1. Ordnung überführt werden.

Differenzengleichungen lassen sich mit jeder Programmiersprache einschließlich Tabellenkalkulation anwenden.

Das Ergebnis ist eine tabellarisch gespeicherte Folge von Berechnungswerten (Stützstellen) der Ausgangs- und Eingangsfolgen sowie der Zeit eines Systems 1. Ordnung im zeitlichen Abstand ${\displaystyle h}$. Ebenso können mehrere hintereinander wirkende dynamische Systeme berechnet werden, wobei die Ausgangsfolgen eines Systems die Eingangsfolgen des nachgeschalteten Systems bedeuten.

• Beispiel der Herleitung einer Differenzengleichung für ein PT1-Glied mit dem Vorwärts-Differenzenquotienten:

Der Differenzialquotient der Differenzialgleichung des PT1-Gliedes wird durch den Differenzenquotient ersetzt mit folgendem Ansatz:

${\displaystyle T_{1}\cdot {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}+y_{k}=K_{PT1}\cdot u_{k}}$

Diese Gleichung wird nach ${\displaystyle y_{k+1}}$ aufgelöst.

${\displaystyle y_{k+1}-y_{k}={\frac {\Delta t}{T_{1}}}\cdot (K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k})}$

Die Differenzengleichung des PT1-Gliedes lautet mit dem Vorwärts-Differenzenquotienten:

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+(K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k})\cdot {\frac {\Delta t}{T_{1}}}}$

Die analytische Lösung des PT1-Gliedes lautet:

${\displaystyle y(t)=K_{PT1}\cdot (1-e^{-{\frac {t}{T_{1}}}})\ \ |\qquad \qquad \ \ e={\text{Euler'sche Zahl}}}$

• Beispiel der Herleitung einer Differenzengleichung für ein PT1-Glied mit dem Rückwärts-Differenzenquotienten:^[9]

Der Differenzialquotient der Differenzialgleichung des PT1-Gliedes wird durch den Differenzenquotient ersetzt mit folgendem Ansatz:

${\displaystyle T_{1}\cdot {\frac {y_{k}-y_{k-1}}{\Delta t}}+y_{k}=K_{PT1}\cdot u_{k}}$

Diese Gleichung wird nach ${\displaystyle y_{k}}$ aufgelöst.

${\displaystyle y_{k}+{\frac {\Delta t}{T_{1}}}\cdot y_{k}=y_{k-1}+{\frac {K_{PT1}\cdot \Delta t}{T_{1}}}\cdot u_{k}}$

Die Differenzengleichung des PT1-Gliedes lautet mit dem Rückwärts-Differenzenquotienten:

${\displaystyle y_{k}={\frac {T_{1}}{T_{1}+\Delta t}}\cdot y_{k-1}+{\frac {\Delta t\cdot K_{PT1}}{T_{1}+\Delta t}}\cdot u_{k}}$

Differenzengleichung des PT1-Gliedes in vereinfachter Schreibweise mit identischer mathematischer Funktion:

${\displaystyle y_{k}=y_{k-1}+(K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k-1})\cdot {\frac {\Delta t}{T_{1}+\Delta t}}}$

• Beispiel der Herleitung einer Differenzengleichung für ein differenzierendes Element wie das D-Glied oder PD1-Glied:

Diese einfachen Differenzengleichungen ${\displaystyle y_{k}=f(u_{k}\dots )}$ entstehen durch Austausch der Ableitung ${\displaystyle u'(t)}$ der zugehörigen Funktionsgleichung durch einen entsprechenden Differenzenquotienten.

Beispiel: Differenzialgleichung PD1-Glied (Methode Vorwärts-Differenzenquotienten):

${\displaystyle y(t)=K_{PD1}\cdot [T_{v}\cdot u'(t)+u(t)]}$

${\displaystyle y_{k}=K_{PD1}\cdot [T_{v}\cdot {\frac {u_{k+1}-u_{k}}{\Delta t}}+u_{k}]}$

Elementar- systeme	Übertragungs- funktion	Differenzengleichung Differenzenquotient Rückwärts	Differenzengleichung Differenzenquotient Vorwärts
P-Glied Proportional	${\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)=K}$	${\displaystyle y_{k}=K\cdot u_{k}}$	${\displaystyle y_{k+1}=K\cdot u_{k+1}}$
I-Glied Integration	${\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)={\frac {1}{T\cdot s}}}$	${\displaystyle y_{k}=y_{k-1}+u_{k}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}}$	${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+u_{k}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}}$
PT1-Glied Verzögerung	${\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)={\frac {K}{T\cdot s+1}}}$	${\displaystyle y_{k}=y_{k-1}+[K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k-1}]\cdot {\frac {\Delta t}{T_{1}+\Delta t}}}$	${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+[K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k}]\cdot {\frac {\Delta t}{T_{1}}}}$
D-Glied Differentiation	${\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)=T\cdot s}$	${\displaystyle y_{k}=[u_{k}-u_{k-1}]\cdot {\frac {T_{V}}{\Delta t}}}$	${\displaystyle y_{k}=[u_{k+1}-u_{k}]\cdot {\frac {T_{V}}{\Delta t}}}$
PD1-Glied Proportional-Diff.	${\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)=K\cdot (T\cdot s+1)}$	${\displaystyle y_{k}=K_{PD1}\cdot \left[u_{k}+(u_{k}-u_{k-1})\cdot {\frac {T_{V}}{\Delta t}}\right]}$	${\displaystyle y_{k}=K_{PD1}\cdot \left[u_{k}+(u_{k+1}-u_{k})\cdot {\frac {T_{V}}{\Delta t}}\right]}$

(Mit ${\displaystyle K}$ = Verstärkungsfaktor, ${\displaystyle y_{k}}$ = aktuelle zeitdiskrete Ausgangsgröße, ${\displaystyle y_{k-1}}$ = vorherige Ausgangsgröße, ${\displaystyle T}$ = Zeitkonstante, ${\displaystyle u_{k}}$ = aktuelle zeitdiskrete Eingangsgröße)

Lineare dynamische Systeme mit der Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ sind laut Definition der Systemtheorie auf den Anfangswert ${\displaystyle y_{0}=0}$ festgelegt. Damit ist das zeitliche Systemverhalten für gegebene Eingangssignale ${\displaystyle u(t)}$ bzw. ${\displaystyle u_{k}}$ eindeutig bestimmt.

Die dargestellten beiden Arten der Differenzengleichungen erfüllen die Bedingung der vollständigen Kompensation (Aufhebung) von Folgegliedern von verzögernden Systemen mit differenzierenden Systemen (z. B. PD1-Glied kompensiert PT1-Glied).

• Die Folgebezeichnungen ${\displaystyle y_{k}}$, ${\displaystyle y_{k+1}}$, ${\displaystyle y_{k-1}}$ sind relative Begriffe der Nummerierung. Sie haben erst eine absolute Bedeutung, wenn die Folge des ersten Folgegliedes ${\displaystyle k=0=k_{0}}$ der Differenzengleichung mit der Ausgangsgröße ${\displaystyle y_{k}}$ zugeordnet wird.
• Von den beiden Verfahren der Bildung von Differenzengleichungen nach den Vorwärts-Differenzenquotienten und dem Rückwärts-Differenzenquotienten ist das Verfahren nach dem Rückwärts-Differenzenquotienten vorzuziehen.
• Das Verfahren Rückwärts-Diff. ist bei einer geringeren Anzahl der Folgeglieder stabiler und genauer.
• Die Berechnung mit mehreren hintereinander wirkenden dynamischen Systemen mit Differenzengleichungen hat Rückwärts-Diff. eindeutige Vorteile der Genauigkeit gegenüber Vorwärts-Diff., weil Anfangswerte mit ${\displaystyle y_{0}=0}$ zu zeitlichen Verzögerungen führen.
• Differenzengleichungen nach dem Verfahren des Rückwärts-Diff. können auch mit einem Anfangswert ${\displaystyle y_{0}=0}$ starten, wenn die Eingangserregung ${\displaystyle u_{k}=0}$ bei ${\displaystyle k=0}$ ist und für weitere Folgen ${\displaystyle u_{k}>0}$ ist.
• Einfache Differenzialgleichungen ohne Eingangserregung ${\displaystyle u_{k}}$ vom Typ: ${\displaystyle \quad y'(t)=-t\cdot y(t)\quad }$ starten bei beiden Verfahren von einem Anfangswert ${\displaystyle y_{0}>0}$ bei ${\displaystyle k=0}$.

Differenzengleichung nach dem Vorwärts-Differenzenquotient für 3 Wertefolgen:

Beispiel Differenzialgleichung (Funktionsgleichung) der Integration 1. Ordnung: ${\displaystyle \quad T_{I}\cdot y'(t)=u(t);\quad }$ ${\displaystyle K_{I}=1/{T_{I}}=1\ {\text{(ohne Spezifikation)}}}$; ${\displaystyle \quad u_{k}>0}$.

Spalte A -	Spalte B Folge k	Spalte C Zeitfolge t	Spalte D Signal ${\displaystyle u_{k}}$	Spalte E Differenzengleichung
Zeile 50	0	${\displaystyle t_{0}=0}$	${\displaystyle u_{0}>0}$	${\displaystyle y_{k}}$ = Anfangswert
Zeile 51	1	${\displaystyle t_{1}>0}$	${\displaystyle u_{1}>0}$	${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+u_{0}\cdot h\cdot K_{I}}$
Zeile 52	2	${\displaystyle t_{2}>0}$	${\displaystyle u_{2}>0}$	${\displaystyle y_{k+2}=y_{k+1}+u_{1}\cdot h\cdot K_{I}}$

Anmerkung zur Tabelle: Werden die Eingangssignale ${\displaystyle u_{k}}$ in der Integrationsfunktion (Vorwärts-Differenzenquotient) anstatt ${\displaystyle u_{0},\ u_{1}}$ nun ${\displaystyle u_{1},\ u_{2}}$ (Spalte E) verwendet, ergibt sich ein verbessertes Rechenergebnis für ${\displaystyle y_{k}}$. Dieser Vorteil reduziert sich linear mit kleiner werdendem ${\displaystyle h}$.

Differenzengleichung nach dem Rückwärts-Differenzenquotient für 3 Wertefolgen:

Beispiel Differenzialgleichung (Funktionsgleichung) der Integration 1. O.: ${\displaystyle \quad T_{I}\cdot y'(t)=u(t);\quad }$ ${\displaystyle u_{k}>0;\quad y_{k-1}\ {\text{wird gleich Null gesetzt}}}$.

Spalte A -	Spalte B Folge k	Spalte C Zeitfolge t	Spalte D Signal ${\displaystyle u_{k}}$	Spalte E Differenzengleichung
Zeile 50	0	${\displaystyle t_{0}=0}$	${\displaystyle u_{0}>0}$	${\displaystyle y_{k}=y_{k-1}+u_{0}\cdot h\cdot K_{I}}$
Zeile 51	1	${\displaystyle t_{1}>0}$	${\displaystyle u_{1}>0}$	${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+u_{1}\cdot h\cdot K_{I}}$
Zeile 52	2	${\displaystyle t_{2}>0}$	${\displaystyle u_{2}>0}$	${\displaystyle y_{k+2}=y_{k+1}+u_{2}\cdot h\cdot K_{I}}$

Differenzengleichung nach dem Rückwärts-Differenzenquotient mit Anfangswert für 3 Wertefolgen:

Beispiel Differenzialgleichung (Funktionsgleichung) der Integration 1. O.: ${\displaystyle \quad T_{I}\cdot y'(t)=u(t)\quad }$ kann mit einem Anfangswert ${\displaystyle y_{k}=0}$ starten, wenn für die anderen Folgen ${\displaystyle u_{k}>0}$ gegeben ist.

Spalte A -	Spalte B Folge k	Spalte C Zeitfolge t	Spalte D Signal ${\displaystyle u_{k}}$	Spalte E Differenzengleichung
Zeile 50	0	${\displaystyle t_{0}=0}$	${\displaystyle u_{0}=0}$	${\displaystyle y_{k}=y_{0}=0}$
Zeile 51	1	${\displaystyle t_{1}>0}$	${\displaystyle u_{1}>0}$	${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+u_{1}\cdot h\cdot K_{I}}$
Zeile 52	2	${\displaystyle t_{2}>0}$	${\displaystyle u_{2}>0}$	${\displaystyle y_{k+2}=y_{k+1}+u_{2}\cdot h\cdot K_{I}}$

Beispiel einer Differenzengleichung nach dem Vorwärts- und Rückwärts-Differenzenquotienten ohne Eingangserregung:

Beispiel Differenzialgleichung: ${\displaystyle \quad y'(t)=-t\cdot y(t);\quad }$ Eingangssignal: ${\displaystyle u_{k}=0}$.^[10]

Die zugehörigen Differenzengleichungen können mit einem Anfangswert ${\displaystyle y_{0}>0}$ starten.

Differenzengleichung nach dem Vorwärts-Diff.: ${\displaystyle \quad y_{k+1}=y_{k}\cdot (1-t_{k}\cdot h)}$. ${\displaystyle \quad y_{0}=1}$.

Differenzengleichung nach dem Rückwärts-Diff.: ${\displaystyle \quad y_{k}=y_{k-1}/(1+t_{k}\cdot h)\quad }$ überführt in ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \quad y_{k+1}=y_{k}/(1+t_{k+1}\cdot h)}$. ${\displaystyle \quad y_{0}=1}$.

Tabelle für das Beispiel Rückwärts-Differenzenquotient:

Spalte A -	Spalte B Folge k	Spalte C Zeitfolge t	Spalte D Differenzengleichung
Zeile 50	0	${\displaystyle t_{0}=0}$	${\displaystyle y_{k}=y_{0}=1}$
Zeile 51	1	${\displaystyle t_{1}>0}$	${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}/(1+t_{1}\cdot h)}$
Zeile 52	2	${\displaystyle t_{2}>0}$	${\displaystyle y_{k+2}=y_{k+1}/(1+t_{2}\cdot h)}$

Folgende Verfahren zur Lösung von dynamischen Systemen mit konjugiert komplexen Polen sind bekannt:

• Lösung einer DGL 2. O. mit einem Modellregelkreis
• Lösung einer DGL höherer Ordnung mit Differenzenquotienten
• Lösung einer DGL höherer Ordnung mit Zustandsvariablen

Ein I-Glied und ein PT1-Glied werden zu einem Modellregelkreis geschaltet. Damit entsteht ein Schwingungsglied (${\displaystyle PT2_{kk}}$), welches durch eine lineare DGL 2. O. mit konstanten Koeffizienten und einer Eingangserregung (Störfunktion) ${\displaystyle u(t)}$ beschrieben wird:

${\displaystyle T^{2}y''(t)+2DTy'(t)+y(t)=K\cdot u(t)}$

Die Differenzengleichungen des I-Gliedes und des PT1-Gliedes erhalten die Koeffizienten aus den Zahlenwerten der vorgegebenen DGL 2. O. durch Faktorenvergleich.

Berechnet werden die drei Differenzengleichungen des I-Gliedes, des PT1-Gliedes und die Schließbedingung (Regelabweichung) des Modellregelkreises mit:

${\displaystyle e_{k}=w_{k}-y_{k-1}}$

Diese Methode ist sehr einfach und genau hinsichtlich minimaler Anzahl der Folgeglieder. Sie bezieht aber nur auf die Lösung von DGL 2. O. und wird deshalb nicht weiter behandelt.

Die Umwandlung einer Differenzialgleichung in eine Differenzengleichung erfordert für jede Ableitung einen entsprechenden Differenzenquotienten, die in vielen Publikationen definiert sind. Das nachfolgend dargestellte Berechnungsbeispiel eines ${\displaystyle PT2_{kk}}$-Gliedes 2. O. zeigt einen beträchtlichen algebraischen Aufwand.

Vorwärts-Differenzenquotient 2. Ordnung:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{h^{2}}}\approx {\frac {y_{k+2}-2\cdot y_{k+1}+y_{k}}{h^{2}}}}$

Rückwärts-Differenzenquotient 2. Ordnung:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{h^{2}}}\approx {\frac {y_{k-2}-2\cdot y_{k-1}+y_{k}}{h^{2}}}}$

Nach erfolgtem Einsetzen der Differenzenquotienten (hier Rückwärts-Differenzenquotient) anstelle der Differenzialquotienten der Differenzialgleichung eines dynamischen Systems 1. und 2. Ordnung lässt sich die so geschaffene Differenzengleichung lösen. Weil ${\displaystyle y_{k}=y_{0}}$ des Differenzenquotienten 2. Ordnung für ${\displaystyle k=0}$ und ${\displaystyle t=0}$ gesetzt wird, sind die Werte für ${\displaystyle y_{k-1}=0}$ und ${\displaystyle y_{k-2}=0}$ und damit kann ${\displaystyle y_{k}}$ für alle Folgen berechnet werden.