Buxton war der Sohn eines Bankiers und er wurde von der Quäker-Tradition der Familie geprägt. Seine Mutter war eine Jex-Blake (mit weiblicher Professoren-Tradition in Oxford und Cambridge). Buxton studierte am Trinity College in Cambridge Naturwissenschaften und danach Medizin am St. George’s Hospital in London. Schon im Ersten Weltkrieg sammelte er für medizinische Zwecke Insekten in Mesopotamien und Persien. 1923 bis 1925 leitete er eine Expedition nach Samoa, den Neuen Hebriden und westpazifische Inseln. 1925 wurde er Nachfolger von Alfred Alcock (1859-1933) als Leiter der Entomologie an der London School of Hygiene and Tropical Medicine. 1933 wurde er Professor für Entomologie an der University of London. Dort arbeitete er mit Vincent Wigglesworth über Insekten-Physiologie zusammen.
Bekannt war seine Studie über die Laus von 1939, in der er sich selbst und Freunde und Familie als Versuchsobjekt benutzte.
Im Zweiten Weltkrieg waren seine Forschungen zu Insektiziden wichtig bei der Bekämpfung von Typhus in Italien und anderer durch Insekten übertragender Krankheiten unter Soldaten und Zivilisten.
Neben Insekten veröffentlichte er auch über Ornithologie.
