Share to:

Prime element

In mathematics, specifically in abstract algebra, a prime element of a commutative ring is an object satisfying certain properties similar to the prime numbers in the integers and to irreducible polynomials. Care should be taken to distinguish prime elements from irreducible elements, a concept that is the same in UFDs but not the same in general.

Definition

An element $p$ of a commutative ring $R$ is said to be prime if it is not the zero element or a unit and whenever $p$ divides $ab$ for some $a$ and $b$ in $R$ , then $p$ divides $a$ or $p$ divides $b$ . With this definition, Euclid's lemma is the assertion that prime numbers are prime elements in the ring of integers. Equivalently, an element $p$ is prime if, and only if, the principal ideal $(p)$ generated by $p$ is a nonzero prime ideal.^[1] (Note that in an integral domain, the ideal $(0)$ is a prime ideal, but $0$ is an exception in the definition of 'prime element'.)

Interest in prime elements comes from the fundamental theorem of arithmetic, which asserts that each nonzero integer can be written in essentially only one way as 1 or −1 multiplied by a product of positive prime numbers. This led to the study of unique factorization domains, which generalize what was just illustrated in the integers.

Being prime is relative to which ring an element is considered to be in; for example, 2 is a prime element in $Z$ but it is not in $Z [i]$ , the ring of Gaussian integers, since $2 = (1 + i)(1 - i)$ and 2 does not divide any factor on the right.

Connection with prime ideals

An ideal $I$ in the ring $R$ (with unity) is prime if the factor ring $R / I$ is an integral domain.

In an integral domain, a nonzero principal ideal is prime if and only if it is generated by a prime element.

Irreducible elements

Prime elements should not be confused with irreducible elements. In an integral domain, every prime is irreducible^[2] but the converse is not true in general. However, in unique factorization domains,^[3] or more generally in GCD domains, primes and irreducibles are the same.

Examples

The following are examples of prime elements in rings:

The integers $\pm2$ , $\pm3$ , $\pm5$ , $\pm7$ , $\pm11$ , ... in the ring of integers $Z$
the complex numbers $(1 + i)$ , $19$ , and $(2 + 3 i)$ in the ring of Gaussian integers $Z [i]$
the polynomials $x 2 - 2$ and $x 2 + 1$ in $Z [x]$ , the ring of polynomials over $Z$ .
2 in the quotient ring $Z /6 Z$
$x 2 + (x 2 + x)$ is prime but not irreducible in the ring $Q [x]/(x 2 + x)$
In the ring $Z 2$ of pairs of integers, $(1, 0)$ is prime but not irreducible (one has $(1, 0) 2 = (1, 0)$ ).
In the ring of algebraic integers $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],$ the element $3$ is irreducible but not prime (as 3 divides $9=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}})$ and 3 does not divide any factor on the right).

References

Notes

^ Hungerford 1980, Theorem III.3.4(i), as indicated in the remark below the theorem and the proof, the result holds in full generality.
^ Hungerford 1980, Theorem III.3.4(iii)
^ Hungerford 1980, Remark after Definition III.3.5

Sources

Section III.3 of Hungerford, Thomas W. (1980), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 73 (Reprint of 1974 ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90518-1, MR 0600654
Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra. II (2 ed.), New York: W. H. Freeman and Company, pp. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787
Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., pp. x+180, MR 0254021

Read more information:

War Horse (film)

2011 film by Steven Spielberg War HorseTheatrical release posterDirected bySteven SpielbergScreenplay by Lee Hall Richard Curtis Based on War Horse (novel)by Michael Morpurgo War Horse (play)by Nick Stafford Produced by Steven Spielberg Kathleen Kennedy Starring Emily Watson David Thewlis Peter Mullan Niels Arestrup Jeremy Irvine CinematographyJanusz KamińskiEdited byMichael KahnMusic byJohn WilliamsProductioncompanies DreamWorks Pictures[1] Reliance Entertainment[1] Amblin Ente…

Daftar kabupaten dan kota di Jawa Timur berdasarkan waktu pembentukan

Lambang Jawa Timur Peta lokasi Jawa Timur di Indonesia Peta kabupaten di Jawa Timur Artikel utama: Daftar kabupaten di Indonesia menurut waktu pembentukan Berikut adalah artikel mengenai Daftar kabupaten dan/atau kota di Jawa Timur berdasarkan waktu pembentukan yang diurutkan berdasarkan abjad. Referensi berdasarkan Undang-Undang Republik Indonesia yang pertama dikeluarkan saat pembentukan kabupaten/kota tersebut meskipun terdapat perundang-undangan terbaru dikemudian hari. No. KodeKemendagri Ka…

Daftar kota di Zimbabwe

Peta Zimbabwe Berikuta dalah daftar kota di Zimbabwe: Manicaland Birchenough Bridge Buhera Cashelhe*Tizvione Hauna Nyazura Rusape Mashonaland Central Glendale, Zimbabwe Mount Darwin, Zimbabwe Mvurwi Bindura Mashonaland East Arcturus Beatrice Bromley Chitungwiza Marondera Ruwa Kotwa Chivhu Nharira Goromonzi Harare Macheke Mahusekwa Suswe Wedza Mutoko Murewa Juru Sadza Makosa Makaha Bondamakara Headlands Nyamapanda Mashonaland West Alaska Banket Battlefields Bumi Hills Cape Haig Chakari Charara Ch…

Eksperimen pikiran

Contoh percobaan pikiran yang terkenal, yaitu kucing Schrödinger (1935), yang terkait dengan kemungkinan seekor kucing ditemukan hidup atau mati, yang bergantung pada peristiwa kuantum yang acak. Percobaan pikiran ini mencoba menggambarkan permasalahan dalam penerapan interpretasi Kopenhagen dalam kehidupan sehari-hari. Eksperimen pikiran atau gedankenexperiment (dari bahasa Jerman) adalah eksperimen yang dibayangkan untuk menyelidiki sesuatu. Eksperimen pikiran dapat atau tidak dapat dilakukan…

Khortha language

Indo-Aryan dialect spoken in India Not to be confused with Khotta Bhasha. KhorthaEastern MagahiखोरठाThe word Khortha written in Devanagari scriptNative toIndiaRegionNorth Chotanagpur and Santhal Pargana, JharkhandNative speakers8.04 million (2011 census)[1][2](additional speakers counted under Hindi)Language familyIndo-European Indo-IranianIndo-AryanEasternBihariMagahiKhorthaWriting systemDevanagariOfficial statusOfficial language in India Jharkhand …

羅生門 (電影)

本條目存在以下問題，請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。此條目需要补充更多来源。 (2018年3月17日)请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索：羅生門 (電影) — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。此�…

Alfonsas Petrulis

Alfonsas Petrulis Alfonsas Petrulis pengucapanⓘ(1873-1928) adalah seorang jurnalis dan imam Katolik Roma Lithuania, dan salah satu dari dua puluh penandatangan Undang-Undang Kemerdekaan Lithuania. Lahir dekat Biržai, ia masuk seminari di Kaunas, Vilnius dan St. Petersburg, dan ditahbiskan pada 1899. Ia kemudian melayani sejumlah paroki di Keuskupan Vilnius. Petrulis aktif dalam gerakan kemerdekaan Lithuania dari 1899 sampai 1918; ia berkarya di sekolah-sekolah dan surat-surat kabar, dan mendo…

Craniata

CraniataRentang fosil: Kambrium Awal - sekarang PreЄ Є O S D C P T J K Pg N Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Chordata (tanpa takson): CraniataLankester, 1877[1] Subphyla Petromyzontida (lampre) (diperdebatkan) Myxini (remang) Vertebrata Sinonim Craniota Haeckel, 1866 Pachycardia Haeckel, 1866 Craniata atau Craniota adalah suatu klad yang diusulkan untuk mencakup semua Chordata yang termasuk vertebrata (subfilum Vertebrata) dan remang (Myxini) sebagai perwakilan hidupnya. Cr…

Miss Charm

Untuk kompetisi mendatang tahun ini, lihat Miss Charm 2024. Miss CharmLogo Miss CharmSingkatanMCTanggal pendirian8 Oktober 2019; 4 tahun lalu (2019-10-08)Didirikan diHo Chi Minh, VietnamStatusAktifTipeKontes kecantikanorganisasiKantor pusatHo Chi Minh, VietnamLokasi VietnamBahasa resmi InggrisVietnamPemenang terkiniLuma Russo BrasilPresidenNguyễn Thị Thúy NgaOrganisasi indukElite Vietnam CompanySitus webmisscharm.tv Miss Charm (atau yang dikenal sebagai Miss Charm Internation…

قائمة مواقع التراث العالمي في اليابان

هذه القائمة غير مكتملة. فضلاً ساهم في تطويرها بإضافة مزيد من المعلومات ولا تنسَ الاستشهاد بمصادر موثوق بها. لا يزال النص الموجود في هذه الصفحة في مرحلة الترجمة إلى العربية. إذا كنت تعرف اللغة المستعملة، لا تتردد في الترجمة. (فبراير 2017) قبلت اليابان اتفاقية اليونسكو الخاصة بمو…

Final Kejuaraan Eropa UEFA 2004

Final Kejuaraan Eropa UEFA 2004TurnamenKejuaraan Eropa UEFA 2004 Portugal Yunani 0 1 Tanggal4 Juli 2004StadionStadion da Luz, LisbonPemain Terbaik Theodoros Zagorakis (Yunani)WasitMarkus Merk (Jerman)Penonton62,865← 2000 2008 → Final Kejuaraan Eropa UEFA 2004 adalah pertandingan sepak bola yang diselenggarakan pada 4 Juli 2004, bertempat di Stadion da Luz, Lisbon, Portugal, untuk menentukan pemenang Kejuaraan Eropa UEFA 2004. Pertandingan ini menampilkan tuan rumah Portugal, yang leb…

Universitas Presiden

Artikel ini memiliki beberapa masalah. Tolong bantu memperbaikinya atau diskusikan masalah-masalah ini di halaman pembicaraannya. (Pelajari bagaimana dan kapan saat yang tepat untuk menghapus templat pesan ini) Kontributor utama artikel ini tampaknya memiliki hubungan dekat dengan subjek. Artikel ini mungkin memerlukan perapian untuk mematuhi kebijakan konten Wikipedia, terutama dalam hal sudut pandang netral. Silakan dibahas lebih lanjut di halaman pembicaraan artikel ini. (Februari 2024) (Pela…

American Friends Service Committee

American Friends Service CommitteePendiri17 anggota Religious Society of FriendsDidirikan1917LokasiPhiladelphia, Pennsylvania, ASAsal mulaHaverford, Pennsylvania, ASOrang pentingShan Cretin, Sekretaris JenderalWilayah layananSeluruh dunia dengan mengutamakan ASPendapatanUS$29.000.000Karyawan250SloganQuaker values in action.Situs resmihttp://afsc.org American Friends Service Committee (AFSC) adalah sebuah organisasi afiliasi Religious Society of Friends (Quaker) yang memperjuangkan perdamaian dan…

Royal College of Music

Royal College of MusicNama sebelumnyaNational Training School for MusicJenisPublikDidirikan1882Dana abadi£28.8 juta[1]KetuaRobert WinstonPresidenRaja WalesDirekturColin LawsonJumlah mahasiswa890 (2019/20)[2]Sarjana440 (2019/20)[2]Magister450 (2019/20)[2]LokasiSouth Kensington, London, Britania Raya51°29′59″N 0°10′37″W / 51.49972°N 0.17694°W / 51.49972; -0.17694Koordinat: 51°29′59″N 0°10′37″W / 51.49972…

Model organism

Organisms used to study biology across species Escherichia coli is a gram-negative prokaryotic model organism Drosophila melanogaster, one of the most famous subjects for genetics experiments Saccharomyces cerevisiae, one of the most intensively studied eukaryotic model organisms in molecular and cell biology A model organism (often shortened to model) is a non-human species that is extensively studied to understand particular biological phenomena, with the expectation that discoveries made in t…

Pengakuan

Confession of Love oleh Jean-Honoré Fragonard yang menggambarkan subjek yang menyatakan perasaan yang selama ini disembunyikan. Pengakuan adalah sebuah pernyataan – yang dibuat oleh seseorang atau sekelompok orang – untuk mengakui beberapa fakta pribadi meskipun orang tersebut (atau kelompoknya) lebih memilih jika informasi tersebut dirahasiakan. Istilah pengakuan mengasumsikan bahwa orang yang mengaku memberikan informasi yang dia yakini belum diketahui oleh pihak lain,[1] dan seri…

E. O. Wilson

E. O. Wilson2003LahirEdward Osborne Wilson10 Juni 1929 (umur 94)Birmingham, Alabama, Amerika SerikatKebangsaanAmerika SerikatAlmamaterUniversitas AlabamaUniversitas HarvardDikenal atasMemopulerkan sosiobiologiEpos EvolusiPemindahan karakterBiogeografi pulauPenghargaanPulitzer Prize (1979)Crafoord Prize (1990)Pulitzer Prize (1991)Kistler Prize (2000)Nierenberg Prize (2001)Karier ilmiahBidangBiologInstitusiUniversitas HarvardDisertasiA Monographic Revision of the Ant Genus Lasius (1955)M…

Gliese 667 Cc

Gliese 667 Cc(Ilustrasi) Kenampakan langit Gliese 667 Cc, menunjukkan Gliese 667 C, Gliese 667 A dan Gliese 667 B.PenemuanTanggal penemuan2011 (disebutkan), 2012 (diumumkan)Metode deteksiKecepatan radial (Observatorium Selatan Eropa)Ciri-ciri orbitSumbu semimayor0,1251 (± 0,03) AUEksentrisitas0,133 (± 0,098)Periode orbit28,155 (± 0,017) hInklinasi>30Semiamplitudo1,5BintangGliese 667 CCiri-ciri fisikJari-jari rata-rata1,54+0,5−0,4[1] R⊕Massa3.709 (± 0.682)[2] M🜨…

Sankt Georgen am Ybbsfelde

Peta wilayah Sankt Georgen am Ybbsfelde (merah). Sankt Georgen am Ybbsfelde adalah kota yang terletak di Austria Hilir, Austria. Kota ini memiliki luas sebesar 22.87 km². Kota ini memiliki populasi sebesar 2.613 jiwa. Pranala luar Situs resmi Diarsipkan 2014-12-18 di Wayback Machine. lbsKota di distrik Amstetten Allhartsberg Amstetten Ardagger Aschbach-Markt Behamberg Biberbach Ennsdorf Ernsthofen Ertl Euratsfeld Ferschnitz Haag Haidershofen Hollenstein an der Ybbs Kematen an der Ybbs Neuh…

Kampung Sampireun Hotel Garut

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Januari 2023. Kampung Sampireun Hotel GarutInformasi umumStatusBeroperasiLokasi Garut, IndonesiaKoordinat7°10′0″S 107°48′0″E / 7.16667°S 107.80000°E / -7.16667; 107.80000Pembukaan1999PemilikKampung Sampireun Hotel Kampung Sampireun H…

Kembali kehalaman sebelumnya