Capitalización continua

La capitalización continua es una fórmula que ayuda a calcular el valor presente y el valor futuro de cierta cantidad, añadiendo los intereses que se van acumulando. Por tanto, los intereses que se ganan en un periodo se suman a la cantidad inicial y se vuelven a invertir en el siguiente periodo, capitalizando nuevos intereses y así sucesivamente.

La capitalización continua se considera un tipo de capitalización compuesta.^[1]​ Si se tiene una tasa nominal constante y la capitalización es más frecuente, el monto compuesto (capital + intereses) aumenta. Esto quiere decir que cuanto más rápido es la capitalización de los intereses, mayor será el monto esperado. La periodicidad instantánea sería cuando «m» tiende a infinito. Si «m» tiende a infinito, también «v».^[2]​

Las fórmulas para obtener el valor futuro y presente de la capitalización continua son: ${\displaystyle M\ =\,C\left({1+{\frac {i}{m}}}\right)^{mt}}$

${\displaystyle v\ =\ {\frac {m}{i}}}$

${\displaystyle M\,=\,C\left[\left(1+{\frac {1}{v}}\right)^{v}\,\right]^{it}}$

${\displaystyle \lim _{v\to \,\infty }\,C\left[\left(1+{\frac {1}{v}}\right)^{v}\,\right]^{it}\ =\,Ce^{it}}$

Donde:

• M = Valor Futuro
• C = Valor Presente
• ${\displaystyle i}$ = Tasa Efectiva
• ${\displaystyle m}$ = Periodicidad
• ${\displaystyle t}$ = Tiempo

Por lo tanto, simplificando la fórmula, el valor futuro y el valor presente calculado a una tasa instantánea o de capitalización continua será:

${\displaystyle M\ =\,Ce^{it}}$

${\displaystyle C\,={\frac {M}{e^{it}}}=M\ e^{-it}}$

La nomenclatura se respeta siendo la misma de arriba.

Calcular el valor futuro de una inversión por 100 000 USD que se capitaliza instantáneamente a una tasa del 25 % anual por 3 años.

${\displaystyle M={100,000}\,e^{0.25(3)}}$

${\displaystyle M={211,700}}$

Un pagaré de 1000 dólares vence dentro de un mes. Calcula el valor presente al 9 % compuesto continuamente:

${\displaystyle C\,={\frac {1,000}{e\,^{0.09(1/12)}}}}$

${\displaystyle C={992.52}}$

Para poder convertir una tasa nominal de capitalización continua a una tasa efectiva, se emplean las siguientes fórmulas:^[2]​

${\displaystyle M\ =\,Ce^{j}}$

${\displaystyle M\ =\,C(1+i)}$

${\displaystyle \Rightarrow Ce^{j}=C(1+i)}$

${\displaystyle \Rightarrow e^{j}=(1+i)}$

Donde:

• M = Valor Futuro
• C = Valor Presente
• ${\displaystyle j}$ = Tasa Nominal Capitalizable Continuamente
• ${\displaystyle i}$ = Tasa Efectiva

Calcular la tasa de capitalización continua equivalente a una tasa efectiva del 19,72 %.

${\displaystyle e^{j}=(1+0.1972)}$

${\displaystyle \ln e^{j}=\ln(1+0.1972)}$

${\displaystyle j=\ln(1.1972)}$

${\displaystyle j=18\%}$

• Capitalización simple
• Capitalización compuesta
• Valor tiempo del dinero