El término bipolar se utiliza a menudo para describir otras curvas que tienen dos puntos singulares (focos), como elipses, hipérbolas y óvalos de Cassini. Sin embargo, el término coordenadas bipolares nunca se utiliza para describir coordenadas asociadas con esas curvas, que tienen sus propios nombres (como por ejemplo, en el caso de las coordenadas elípticas).
Definición básica
La definición más común de las coordenadas bipolares cilíndricas es
donde la coordenada de un punto es igual al ángulo y la coordenada es igual al logaritmo natural de la relación entre las distancias y y las líneas rectas focales
(debe recordarse que las líneas rectas focales y están ubicadas en y , respectivamente).
Las superficies de constante corresponden a cilindros de diferentes radios
que pasan todos por las líneas focales y no son concéntricos. Las superficies de constante son cilindros de diferentes radios que no se intersecan
que rodean las líneas focales pero nuevamente no son concéntricos. Las líneas focales y todos estos cilindros son paralelos al eje (la dirección de proyección). En el plano , los centros de los cilindros constante y constante se encuentran en los ejes y , respectivamente.
Factores de escala
Los factores de escala para las coordenadas bipolares y son iguales
mientras que el factor de escala restante .
Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a
y el laplaciano está dado por
Otros operadores diferenciales como y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en el artículo dedicado a las coordenadas ortogonales.
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