Criterio del cociente

El criterio del cociente o criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de esta.

Definiendo con ${\displaystyle n}$ a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos respectivamente ${\displaystyle \limsup }$ y ${\displaystyle \liminf }$ a los límites superior e inferior de la sucesión ${\displaystyle \textstyle {A_{n+1} \over A_{n}}}$ se obtienen cada uno de los siguientes casos:

• Si ${\displaystyle \limsup <1,\ A_{n}}$ converge.
• Si ${\displaystyle \liminf >1,\ A_{n}}$ diverge.
• Si ${\displaystyle \liminf \leq 1\leq \limsup }$, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

En el caso particular de que dicha sucesión sea convergente tendremos entonces que ${\displaystyle \liminf =\limsup =L}$, siendo ${\displaystyle L}$ el límite de la sucesión, por lo que el estudio se puede simplificar a los siguientes casos:

• Si ${\displaystyle L<1,\ A_{n}}$ converge.
• Si ${\displaystyle L>1,\ A_{n}}$ diverge.
• Si ${\displaystyle L=1}$, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Sea: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)}$

Tal que:

• ${\displaystyle f(n)>0}$ (o sea una sucesión de términos positivos) y
• ${\displaystyle f(n)}$ tienda a cero cuando ${\displaystyle n}$ tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

De las dos condiciones anteriores tenemos que la sucesión ${\displaystyle \textstyle {\frac {f(n+1)}{f(n)}}}$ está acotada

1) Si además de acotada, dicha sucesión es convergente calculamos:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=L}$

Así obtenemos ${\displaystyle L}$ y se clasifica de la siguiente manera:

• ${\displaystyle L<1}$ la serie converge
• ${\displaystyle L>1}$ la serie diverge
• ${\displaystyle L=1}$ el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio.

2) Si la sucesión ${\displaystyle {\frac {f(n+1)}{f(n)}}}$ no es convergente, como sucesión acotada que es, tendrá límites superior e inferior finitos.

Ahora bien habrá que calcularlos y proceder a aplicar el criterio más general:

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=\limsup }$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=\liminf }$

Con ${\displaystyle \limsup }$ y ${\displaystyle \liminf }$ se clasifica de la siguiente manera:

• Si ${\displaystyle \limsup <1}$, la serie converge.
• Si ${\displaystyle \liminf >1}$, la serie diverge.
• Si ${\displaystyle \liminf \leq 1\leq \limsup }$, el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio.

Si ${\displaystyle f(n)={\frac {n+1}{n!}}}$, clasificar ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$.

a)${\displaystyle f(n)={\frac {n+1}{n!}}>0}$

b) ${\displaystyle {\frac {n+1}{n!}}}$ tiende a cero conforme crece ${\displaystyle n}$ (porque el factorial crece más rápidamente que n+1)

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n+1}{n!}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n!}{(n+1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+2)}{(n+1)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)+1}{(n+1)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)=0}$

y como ${\displaystyle L<1}$, la serie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ converge.

• Jean Le Rond d'Alembert
• Criterio de la raíz

• Weisstein, Eric W. «Ratio Test». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Ratio Test en PlanetMath.