Espacio polinómicamente reflexivo

En matemáticas, un espacio polinómicamente reflexivo (también denominado en ocasiones espacio polinomialmente reflexivo) es un espacio de Banach X, en el que el espacio de todos los polinomios en cada grado es un reflexivo.

Dado un funcional multilineal M_n de grado n (es decir, M_n es n-lineal), se puede definir un polinomio p como

${\displaystyle p(x)=M_{n}(x,\dots ,x)}$

(es decir, aplicando M_n sobre la diagonal) o cualquier suma finita de estos elementos. Si en la suma solo hay n funcionales lineales, se dice que el polinomio es n-homogéneo.

Se define el espacio P_n como compuesto por todos los n polinomios homogéneos.

P₁ es idéntico al espacio dual y, por lo tanto, es reflexivo para todas las X reflexivas. Esto implica que la reflexividad es un requisito previo para la reflexividad polinómica.

En un espacio lineal de dimensión finita, una forma cuadrática x↦f(x) es siempre una combinación lineal (finita) de productos x↦g( x) h(x) de dos funcionales lineales g y h. Por lo tanto, suponiendo que los escalares son números complejos, cada secuencia x_n que satisfaga g(x_n) → 0 para todos los funcionales lineales g, también satisface f(x_n) → 0 para todas las formas cuadráticas f.

En la dimensión infinita la situación es diferente. Por ejemplo, en un espacio de Hilbert, una secuencia ortonormal x_n satisface g(x_n) → 0 para todos los funcionales lineales g y, sin embargo, f(x_n) = 1 donde f es la forma cuadrática f(x) = ||x||². En palabras más técnicas, esta forma cuadrática no es débilmente secuencialmente continua en el origen.

En un espacio de Banach reflexivo con la propiedad de aproximación las dos condiciones siguientes son equivalentes:^[1]​

• Toda forma cuadrática es débilmente secuencialmente continua en el origen.
• El espacio de Banach de todas las formas cuadráticas es reflexivo.

Las formas cuadráticas son polinomios 2-homogéneos. La equivalencia mencionada anteriormente también es válida para polinomios n-homogéneos, n=3,4,...

Para espacios ${\displaystyle \ell ^{p}}$, la P_n es reflexiva si y solo si n < p. Por lo tanto, ningún ${\displaystyle \ell ^{p}}$ es polinómicamente reflexivo (${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ se descarta porque no es reflexivo).

En consecuencia, si un espacio de Banach admite ${\displaystyle \ell ^{p}}$ como espacio cociente, no es polinómicamente reflexivo. Esto hace que los espacios polinómicamente reflexivos sean raros.

El espacio de Tsirelson T* es polinómicamente reflexivo.^[2]​

• Alencar, R., Aron, R. and S. Dineen (1984), "A reflexive space of holomorphic functions in infinitely many variables", Proc. Amer. Math. Soc. 90: 407–411.
• Farmer, Jeff D. (1994), "Polynomial reflexivity in Banach spaces", Israel Journal of Mathematics 87: 257–273. MR 1286830
• Jaramillo, J. and Moraes, L. (2000), "Dualily and reflexivity in spaces of polynomials", Arch. Math. (Basel) 74: 282–293. MR 1742640
• Mujica, Jorge (2001), "Reflexive spaces of homogeneous polynomials", Bull. Polish Acad. Sci. Math. 49:3, 211–222. MR 1863260