Weaving nació en la University Teaching Hospital en Ibadán, Nigeria, hijo de Anne Lennard, exmaestra y guía turística, y de Wallace Weaving, sismólogo, ambos ingleses.[1][2][3] Su abuela materna era belga.[3] Un año después de su nacimiento, su familia regresó a Inglaterra para vivir en Bedford y Brighton antes de trasladarse a Melbourne y Sídney (Australia), Johannesburgo (Sudáfrica), y volver nuevamente a Inglaterra.[1] En Inglaterra, asistió al instituto privado Queen Elizabeth's Hospital. Su familia se volvió a mudar a Australia en 1976, donde él asistió a otra escuela privada, la Knox Grammar School de Sídney. En 1981 terminó exitosamente sus estudios en el prestigioso National Institute of Dramatic Art.
A los 13 años se le diagnosticó epilepsia. Vive en Sídney con su novia Katrina Greenwood, la pareja dio la bienvenida a su primer hijo juntos, llamado Harry, en 1989; y en 1993 a su primera hija, Holly Weaving. Tiene dos hermanos, Simon y Anna Jane. Sus sobrinas Samara y Morgan Weaving son actrices.
