Ley de esperanzas iteradas

La ley de esperanzas iteradas^[1]​ o ley de Adán ^[2]​ es una proposición en teoría de la probabilidad que establece que si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria cuya esperanza ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ es definida, e ${\displaystyle Y}$ es cualquier variable aleatoria en el mismo espacio de probabilidad, entonces se cumple que

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y)),}$

es decir, la esperanza o valor esperado de ${\displaystyle X}$ es igual al valor esperado de la esperanza condicional de ${\displaystyle X}$ dado ${\displaystyle Y}$.

La esperanza condicional ${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)}$, siendo ${\displaystyle Y}$ una variable aleatoria, no es un simple número, es una variable aleatoria cuyo valor depende del valor de ${\displaystyle Y}$. Es decir, la esperanza condicional de ${\displaystyle X}$ dado el evento ${\displaystyle Y=y}$ es un número y es una función de ${\displaystyle y}$ . Si denotamos por ${\displaystyle g(y)}$ el valor de ${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y=y)}$, entonces la variable aleatoria ${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)}$ es ${\displaystyle g(Y)}$ .

Un caso especial establece que si ${\displaystyle {\left\{A_{i}\right\}}}$ es una partición finita o contable del espacio muestral, entonces

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

Supongamos que sólo dos fábricas suministran bombillas al mercado. Las bombillas de la fábrica ${\displaystyle X}$ funcionan durante un promedio de 5000 horas, mientras que las de la fábrica ${\displaystyle Y}$ funcionan una media de 4000 horas. Se sabe que la fábrica ${\displaystyle X}$ suministra el 60% del total de bombillas disponibles. ¿Cuál es el tiempo de funcionamiento (L) esperado de una bombilla comprada?

Aplicando la ley de esperanzas iteradas, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (L)&=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)\\[3pt]&=5000(0.6)+4000(0.4)\\[2pt]&=4600\end{aligned}}}$

dónde

• ${\displaystyle \operatorname {E} (L)}$ es la vida útil esperada de la bombilla;
• ${\displaystyle \operatorname {P} (X)={6 \over 10}}$ es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido producida en la fábrica ${\displaystyle X}$ ;
• ${\displaystyle \operatorname {P} (Y)={4 \over 10}}$ es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido producida en la fábrica ${\displaystyle Y}$ ;
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid X)=5000}$ es la vida útil esperada de una bombilla producida en la fábrica ${\displaystyle X}$ ;
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid Y)=4000}$ es la vida útil esperada de una bombilla producida en la fábrica ${\displaystyle Y}$ .

Por lo tanto, cada bombilla comprada tiene una vida útil esperada de 4.600 horas.

Cuando una función de densidad de probabilidad conjunta está bien definida y las esperanzas son integrables, escribimos para el caso general $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\int x\Pr[X=x]~dx\\\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\int x\Pr[X=x\mid Y=y]~dx\\\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y))&=\int \left(\int x\Pr[X=x\mid Y=y]~dx\right)\Pr[Y=y]~dy\\&=\int \int x\Pr[X=x,Y=y]~dx~dy\\&=\int x\left(\int \Pr[X=x,Y=y]~dy\right)~dx\\&=\int x\Pr[X=x]~dx\\&=\operatorname {E} (X)\,.\end{aligned}}}$$Una derivación similar funciona para distribuciones discretas utilizando adición en lugar de integración. Para el caso específico de una partición, asigne a cada celda de la partición una etiqueta única y sea la variable aleatoria Y la función del espacio muestral que asigna la etiqueta de una celda a cada punto de esa celda.

Sea ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ un espacio de probabilidad en el que dos sub σ-álgebras ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}}$ están bien definidas. Para una variable aleatoria ${\displaystyle X}$ en tal espacio, la ley de esperanzas iteradas establece que si ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ es definida, es decir ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$, entonces

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{(a.s.)}}.}$

Prueba . Dado que una esperanza condicional es una derivada de Radon-Nikodym, la verificación de las dos propiedades siguientes establece la ley de esperanas iteradas:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]{\mbox{ is }}{\mathcal {G}}_{1}}$ - medible
• ${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} ,}$ para todo ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}.}$

La primera de estas propiedades se cumple por la definición de la esperanza condicional. Para probar la segunda,

${\displaystyle {\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}}$

de manera que la integral ${\displaystyle \textstyle \int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} }$ es definida (no es igual a ${\displaystyle \infty -\infty }$ ).

Así, la segunda propiedad se cumple, pues ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}}$ implica

${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} .}$

Corolario. En el caso especial cuando ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)}$, la ley de esperanzas iteradas se reduce a

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$

Prueba alternativa para ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$

Esta es una consecuencia simple de la definición de la esperanza condicional en la teoría de la medida. Por definición, ${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]:=\operatorname {E} [X\mid \sigma (Y)]}$ es una variable aleatoria ${\displaystyle \sigma (Y)}$-medible que satisface

${\displaystyle \int _{A}\operatorname {E} [X\mid Y]\,d\operatorname {P} =\int _{A}X\,d\operatorname {P} ,}$

para cada conjunto medible ${\displaystyle A\in \sigma (Y)}$. Tomar ${\displaystyle A=\Omega }$ prueba la afirmación.

• Ley de probabilidad total

• Stock, James H.; Watson, Mark. W. (2012). Introducción a la econometría (3.ª edición). Madrid: Pearson.