Topología inicial

En topología general, la topología inicial en un conjunto $X$ con respecto a una familia de aplicaciones de $X$ en espacios topológicos es la topología menos fina en $X$ que hace que todas esas aplicaciones sean continuas.

La noción dual es la topología final, que para una familia dada de aplicaciones de espacios topológicos en un conjunto $X$ es la topología más fina en $X$ que hace que esas aplicaciones sean continuas.

Definición

Topología inicial

Sea $X$ un conjunto no vacío, $\{\left(Y_{i},{\mathcal {T}}_{i}\right)\}_{i\in I}$ una familia arbitraria de espacios topológicos y ${\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y_{i}\,:i\in I\}$ una familia de aplicaciones.
Se define la topología inicial en $X$ inducida por la familia de aplicaciones ${\mathcal {F}}$ como la que tiene como subbase la familia de subconjuntos:

${\mathcal {S}}=\{f_{i}^{-1}(U_{i}):U_{i}\in {\mathcal {T}}_{i},i\in I\}$

Por construcción, la topología inicial ${\mathcal {T}}({\mathcal {S}})$ es la topología menos fina en $X$ tal que $f_{i}:(X,{\mathcal {T}}({\mathcal {S}}))\to (Y_{i},{\mathcal {T}}_{i})$ es continua para todo $i\in I$ .

Ejemplos

La topología inducida en un subconjunto es la topología inicial con respecto a la inclusión.
La topología producto es la topología inicial con respecto a las proyecciones.

Bibliografía

Willard, Stephen (1970). General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6. (requiere registro).