Variedad lineal

${\displaystyle (V,F,\varphi \vert _{V\times V})}$

(1) ${\displaystyle V}$ sea un conjunto no vacío, lo que es cierto, pues ${\displaystyle 0\in F}$ por ser ${\displaystyle F}$ un subespacio vectorial, y entonces ${\displaystyle p=p+{\vec {pp}}=p+0\in V\Rightarrow V\neq \emptyset .}$

(2) ${\displaystyle F}$ sea un espacio vectorial, lo que es cierto porque ${\displaystyle F\subseteq E}$ es un subespacio vectorial de ${\displaystyle E}$ y todo subespacio vectorial es un espacio vectorial.

(3) La aplicación ${\displaystyle \varphi \vert _{V\times V}:V\times V\rightarrow F,\quad (q,r)\mapsto \varphi \vert _{V\times V}(q,r)=\varphi (q,r)}$ esté bien definida, y que tenga las propiedades que debe tener una aplicación ${\displaystyle \varphi }$ para definir un espacio afín. Veamos las tres propiedades:

(i) Está bien definida:

Supongamos que ${\displaystyle q,r\in V}$. Tenemos que ver que ${\displaystyle \varphi \vert _{V\times V}(q,r)\in F}$. Por definición de ${\displaystyle \varphi \vert _{V\times V}}$ y como ${\displaystyle \varphi }$ define un espacio afín:

${\displaystyle \varphi \vert _{V\times V}(q,r)=\varphi (q,r)=\varphi (q,p)+\varphi (p,r)=\varphi (p,r)-\varphi (p,q)}$

Como ${\displaystyle q,r\in V=p+F\Rightarrow q=p+u,u\in F}$ y ${\displaystyle r=p+v,v\in F}$.

Pero entonces ${\displaystyle \varphi (p,q)=u\in F}$ y ${\displaystyle \varphi (p,r)=v\in F}$.

Como F es un subespacio vectorial, obtenemos que

${\displaystyle \varphi \vert _{V\times V}(q,r)=\varphi (p,r)-\varphi (p,q)\in F}$, como queríamos ver.

(ii) Tenemos que ver que, fijado ${\displaystyle q\in V}$ arbitrario, la aplicación ${\displaystyle \varphi \vert _{V\times V_{q}}:V\rightarrow F,\quad r\mapsto \varphi \vert _{V\times V_{q}}(r)=\varphi \vert _{V\times V}(q,r)=\varphi (q,r)=\varphi _{q}(r)}$ es biyectiva.

Veamos que es inyectiva:

Supongamos que ${\displaystyle \varphi \vert _{V\times V_{q}}(r)=\varphi \vert _{V\times V_{q}}(r')}$. Vamos a ver que, necesariamente, ${\displaystyle r=r'}$. Como ${\displaystyle \varphi }$ define un espacio afín en ${\displaystyle \mathbb {A} }$,

${\displaystyle \varphi \vert _{V\times V_{q}}(r)=\varphi \vert _{V\times V_{q}}(r')\Rightarrow \varphi _{q}(r)=\varphi _{q}(r')\Rightarrow r=r'}$

Veamos que es exhaustiva:

Sea ${\displaystyle u\in F}$ arbitrario. Tenemos que ver que ${\displaystyle \exists r\in V:\varphi \vert _{V\times V_{q}}(r)=u\Leftrightarrow \exists r\in V:\varphi _{q}(r)=u}$, lo cual es cierto porque ${\displaystyle \varphi }$ define un espacio afín en ${\displaystyle \mathbb {A} }$.

Como ${\displaystyle \varphi \vert _{V\times V_{q}}}$ es inyectiva y exhaustiva, es, por definición biyectiva, como queríamos ver.

(iii) Tenemos que ver que dados ${\displaystyle q,r,s\in V}$ arbitrarios, ${\displaystyle \varphi \vert _{V\times V}(q,s)=\varphi \vert _{V\times V}(q,r)+\varphi \vert _{V\times V}(r,s)}$. Como ${\displaystyle \varphi }$ define un espacio afín en ${\displaystyle \mathbb {A} }$,

${\displaystyle \varphi \vert _{V\times V}(q,r)+\varphi \vert _{V\times V}(r,s)=\varphi (q,r)+\varphi (r,s)=\varphi (q,s)}$

Por lo tanto, ${\displaystyle (V,F,\varphi \vert _{V\times V})}$ es un espacio afín y ${\displaystyle V=p+F}$, una variedad lineal. ${\displaystyle \quad \square }$

${\displaystyle (V,F,\varphi ')}$

${\displaystyle V}$

${\displaystyle p\in V}$

${\displaystyle V=p+F=\{p+u,u\in F\}}$

${\displaystyle q\in p+F}$

${\displaystyle q\in p+F\Leftrightarrow q=p+u,u\in F\Leftrightarrow q\in V}$

La última equivalencia porque la aplicación punto más vector en un espacio afín está definida en los conjuntos ${\displaystyle V\times F\rightarrow V}$, por lo que la imagen de ${\displaystyle (p,u)\in V\times F}$ es un elemento de ${\displaystyle V}$. ${\displaystyle \quad \square }$

${\displaystyle (\Rightarrow )}$ ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle W}$ se cortan ${\displaystyle \Rightarrow \exists r\in V\cap W\Rightarrow r=p+u,u\in F}$ y ${\displaystyle r=q+v,v\in G\Rightarrow {\vec {pr}}=u\in F}$ y ${\displaystyle {\vec {qr}}=v\in G\Rightarrow }$

${\displaystyle \Rightarrow {\vec {pr}}-{\vec {qr}}=u-v\Rightarrow {\vec {pr}}+{\vec {rq}}=u-v\Rightarrow {\vec {pq}}=u-v\in F+G}$

${\displaystyle (\Leftarrow )}$ ${\displaystyle {\vec {pq}}\in F+G\Rightarrow {\vec {pq}}=u+v,u\in F,v\in G.}$

${\displaystyle q=p+{\vec {pq}}=p+u+v\Rightarrow W\ni q-v=p-u\in V\Rightarrow q-v\in V\cap W\Rightarrow V\cap W\neq \emptyset \Rightarrow V,W}$ se cortan. ${\displaystyle \square }$

Tenemos que ${\displaystyle a\in V\cap W\Rightarrow a\in V}$ y ${\displaystyle a\in W}$, por lo que podemos escribir ${\displaystyle V=a+F,\quad W=a+G}$.

${\displaystyle (\subseteq )}$ Sea ${\displaystyle m\in V\cap W}$ arbitrario ${\displaystyle \Rightarrow m=a+u,u\in F}$ y ${\displaystyle m=a+v,v\in G\Rightarrow }$

${\displaystyle \Rightarrow u={\vec {am}}=v\in F\cap G\Rightarrow m=a+u\in a+(F\cap G)}$

${\displaystyle (\supseteq )}$ Sea ${\displaystyle m\in a+(F\cap G)\Rightarrow m=a+u,u\in F\cap G\Rightarrow m=a+u,u\in F}$ y ${\displaystyle m=a+u,u\in G\Rightarrow }$

${\displaystyle \Rightarrow m\in V}$ y ${\displaystyle m\in W\Rightarrow m\in V\cap W\quad \square }$

${\displaystyle V=p+F}$

${\displaystyle W=q+G}$

${\displaystyle [A]}$

${\displaystyle A}$

${\displaystyle V\lor W=p+(F+G+[{\vec {pq}}])}$

${\displaystyle (\subseteq )}$ Veremos que ${\displaystyle V,W\subseteq p+(F+G+[{\vec {pq}}]).}$ Entonces, por definición de ${\displaystyle V\lor W}$, tendremos que

${\displaystyle V\lor W\subseteq p+(F+G+[{\vec {pq}}]),}$ como queremos ver.

Sea ${\displaystyle m\in V}$ arbitrario. ${\displaystyle m\in V=p+F\Rightarrow m=p+u,\quad u\in F\Rightarrow m=p+u,u\in F+G+[{\vec {pq}}]\Rightarrow m\in p+(F+G+[{\vec {pq}}]).}$

Por tanto, ${\displaystyle V\subseteq p+(F+G+[{\vec {pq}}])}$.

Sea ${\displaystyle m\in W}$ arbitrario. ${\displaystyle m\in W=q+G\Rightarrow m=q+v,\quad v\in G\Rightarrow {\vec {qm}}\in G.}$

Por otro lado, ${\displaystyle {\vec {pm}}={\vec {pq}}+{\vec {qm}}}$. Como ${\displaystyle {\vec {pq}}\in [{\vec {pq}}]}$ y, por lo anterior, ${\displaystyle {\vec {qm}}\in G}$, tenemos que ${\displaystyle {\vec {pm}}\in G+[{\vec {pq}}]\subseteq F+G+[{\vec {pq}}]\Rightarrow m=p+u,\quad u\in F+G+[{\vec {pq}}]\Rightarrow m\in p+(F+G+[{\vec {pq}}]).}$ Por tanto, ${\displaystyle W\subseteq p+(F+G+[{\vec {pq}}])}$.

Así, como ${\displaystyle V,W\subseteq p+(F+G+[{\vec {pq}}]),}$ por definición de ${\displaystyle V\lor W}$,

${\displaystyle V\lor W\subseteq p+(F+G+[{\vec {pq}}])}$.

${\displaystyle (\subseteq )}$ Sea ${\displaystyle T}$ una variedad lineal arbitraria que contenga a ${\displaystyle V}$ y a ${\displaystyle W}$. En particular, ${\displaystyle p\in T}$ y podemos, pues, escribir ${\displaystyle T=p+H}$, con ${\displaystyle H}$ cierto espacio vectorial.

Tenemos que ${\displaystyle p+F=V\subseteq T=p+H\Rightarrow F\subseteq H}$.

Por otro lado, ${\displaystyle q+G=W\subseteq T=p+H\Rightarrow G\subseteq H}$ y ${\displaystyle q\in T}$. Como ${\displaystyle p\in T}$, entonces ${\displaystyle {\vec {pq}}\in H\Rightarrow [{\vec {pq}}]\subseteq H}$.

Así, hemos obtenido que ${\displaystyle F,G,[{\vec {pq}}]\subseteq H\Rightarrow p+(F+G+[{\vec {pq}}])\subseteq T.}$

Es decir, culaquier variedad lineal que contenga a ${\displaystyle V}$ y a ${\displaystyle W}$ contiene necesariamente a ${\displaystyle p+(F+G+[{\vec {pq}}])}$. Por definición, ${\displaystyle V,W\subseteq V\lor W}$, así que, por la conclusión a la que acabamos de llegar, ${\displaystyle p+(F+G+[{\vec {pq}}])\subseteq V\lor W}$.

Por lo tanto, hemos demostrado la igualdad entre conjuntos que buscábamos. ${\displaystyle \quad \square }$

Como ${\displaystyle V\cap W\neq \emptyset }$, por lo anterior, ${\displaystyle V\cap W=a+(F\cap G),{\text{ con }}a\in V\cap W}$.

Así, por definición de dimensión de una variedad lineal y la fórmula de Grassmann para espacios vectoriales, tenemos que

${\displaystyle {\text{dim }}(V\cap W)={\text{dim }}(F\cap G)={\text{dim }}F+{\text{dim }}G-{\text{dim }}(F+G)={\text{dim }}V+{\text{dim }}W-{\text{dim }}(F+G)}$

Como ${\displaystyle V\cap W\neq \emptyset }$, como hemos visto antes, ${\displaystyle {\vec {pq}}\in F+G\Rightarrow V\lor W=p+(F+G+[{\vec {pq}}])=p+(F+G)\Rightarrow {\text{dim }}V\lor W={\text{dim }}(F+G).}$

Por tanto,

${\displaystyle {\text{dim }}(V\cap W)={\text{dim }}V+{\text{dim }}W-{\text{dim }}(F+G)={\text{dim }}V+{\text{dim }}W-{\text{dim }}(V\lor W)\Rightarrow {\text{dim }}(V\lor W)={\text{dim }}V+{\text{dim }}W-{\text{dim }}(V\cap W),}$ como queríamos demostrar. ${\displaystyle \quad \square }$

Por lo anterior, tenemos que ${\displaystyle V\lor W=p+(F+G+[{\vec {pq}}])}$, por lo que, por definición de dimensión de una variedad lineal y la fórmula de Grassmann para espacios vectoriales,

${\displaystyle {\text{dim }}(V\lor W)={\text{dim }}(F+G+[{\vec {pq}}])={\text{dim }}(F+G)+{\text{dim }}([{\vec {pq}}])-{\text{dim }}((F+G)\cap [{\vec {pq}}])}$

Por otro lado, ${\displaystyle V\cap W=\emptyset \Rightarrow {\vec {pq}}\not \in F+G\Rightarrow \alpha {\vec {pq}}\not \in F+G\quad \forall \alpha \in \mathbb {K} -\{0\}\Rightarrow (F+G)\cap [{\vec {pq}}]=\{0\}\Rightarrow {\text{dim }}((F+G)\cap [{\vec {pq}}])=0}$

Por tanto, de la primera igualdad obtenemos que

${\displaystyle {\text{dim }}(V\lor W)={\text{dim }}(F+G)+{\text{dim }}([{\vec {pq}}])-{\text{dim }}((F+G)\cap [{\vec {pq}}])={\text{dim }}(F+G)+1-0=}$

${\displaystyle ={\text{dim }}F+{\text{dim }}G-{\text{dim }}(F\cap G)+1={\text{dim }}V+{\text{dim }}W+1-{\text{dim }}(F\cap G),}$ como queríamos demostrar. ${\displaystyle \quad \square }$