Algèbre normée

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Une algèbre normée est une algèbre A sur le corps des réels ou des complexes munie d'une norme d'espace vectoriel qui vérifie :

${\displaystyle \forall x,y\in A\qquad \|xy\|\leq \|x\|\|y\|.}$

En d'autres termes, il s'agit d'une algèbre sur K = R ou C telle que l'espace vectoriel sous-jacent soit normé, la norme étant en outre sous-multiplicative.

Dans une algèbre normée unifère A non nulle, l'élément unité peut toujours être supposé de norme 1, quitte à remplacer la norme ${\displaystyle x\mapsto \|x\|}$ par la norme équivalente d'algèbre ${\displaystyle x\mapsto \sup _{\|y\|=1}\|xy\|}$.

Toute K-algèbre normée A est un idéal fermé de son « unitarisée » : l'algèbre normée unitaire définie par la norme et le produit suivants sur A ⊕ K : ${\displaystyle (a,\lambda )(b,\mu )=(ab+\lambda b+\mu a,\lambda \mu ),\quad \|(a,\lambda )\|=\|a\|+|\lambda |}$ (on peut remplacer cette norme par une norme équivalente d'algèbre, comme ${\displaystyle \max(\|a\|,|\lambda |)}$).

L'algèbre unitarisée d'une algèbre de Banach est de Banach.

L'unitarisée d'une C*-algèbre est une C*-algèbre, pour l'involution naturelle et la norme ${\displaystyle \|(a,\lambda )\|=\sup _{b\in A,\|b\|\leq 1}\|ab+\lambda b\|}$. Par exemple, si X est un espace localement compact, l'unitarisée de la C*-algèbre commutative C₀(X) des fonctions scalaires continues sur X nulles à l'infini (munie de la norme de la convergence uniforme) est l'algèbre C(X⁺) des fonctions continues sur son compactifié d'Alexandrov. Par exemple : l'unitarisée de C₀(ℝⁿ) est C(Sⁿ).

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