Algèbre de Gerstenhaber

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En mathématiques, une algèbre de Gerstenhaber est une structure algébrique qui généralise en un certain sens les algèbres de Lie et de Poisson. Elle tient son nom de Murray Gerstenhaber qui les a introduites en 1963. Formellement, c'est un espace vectoriel gradué muni de deux lois de degrés différents et de symétries opposées.

Les algèbres de Gerstenhaber exactes, aussi connues sous le nom d’algèbres de Batalin-Vilkovisky ou BV-algèbres interviennent dans le formalisme Batalin-Vilkovisky (en) qui permet d'étudier les champs fantômes (en) des théories de jauges lagrangiennes.

On dit que ${\displaystyle \langle G,\wedge ,[-,-]\rangle }$ est une algèbre de Gerstenhaber (graduée) lorsque :

• G est un espace vectoriel ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-gradué, le degré d'un élément a étant noté ${\displaystyle |a|}$ ;
• Le « produit » ${\displaystyle \wedge }$ est de degré 0, c'est-à-dire que pour tout couple (a, b) d'éléments de G, ${\displaystyle |a\wedge b|=|a|+|b|}$ ;
• Le crochet de Lie ${\displaystyle [-,-]}$ est de degré -1, c'est-à-dire que pour tout couple (a, b) d'éléments de G, ${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$ ;
• ${\displaystyle \langle G,\wedge \rangle }$ est une algèbre graduée commutative ;
• ${\displaystyle \langle G[1],[-,-]\rangle }$ est une algèbre de Lie graduée (en) ;
• La « relation de Leibniz » suivante est vérifiée pour tous a, b, c éléments de G : ${\displaystyle [a,b\wedge c]=[a,b]\wedge c+(-1)^{|b|(|a|-1)}b\wedge [a,c]}$.

• L'espace ${\displaystyle T_{\mathrm {poly} }(\mathbb {R} ^{d})}$ des multichamps de vecteurs, munis du produit extérieur et du crochet de Schouten-Nijenhuis (en), forme une algèbre de Gerstenhaber.
• L'algèbre extérieure d'une algèbre de Lie est une algèbre de Gesternhaber.
• Les formes différentielles sur une variété de Poisson forment une algèbre de Gesternhaber.
• La cohomologie de Hochschild H*(A,A) d'une algèbre graduée A est une algèbre de Gerstenhaber.
• L'homologie d'une E₂-algèbre (en) est une algèbre de Gerstenhaber.

• Théorie de la déformation (en)
• Opérade

• (en) Murray Gerstenhaber, « The cohomology structure of an associative ring », Annals of Mathematics, vol. 78,‎ 1963, p. 267–288 (DOI 10.2307/1970343, JSTOR 1970343)
• Grégory Ginot, « Homologie et modele minimal des algebres de Gerstenhaber », Annales Mathématiques Blaise Pascal, Université Blaise-Pascal, Département de mathématiques, vol. 11,‎ 2004 (lire en ligne)
• (en) Ping Xu, « Gerstenhaber algebras and BV-algebras in Poisson geometry », Communications in Mathematical Physics, vol. 200, n^o 3,‎ 1999, p. 545-560 (DOI 10.1007/s002200050540)

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