Algèbre sur un anneau

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un anneau commutatif A est une structure algébrique qui se définit comme suit :

(E, A, +, ∙, ×) est une algèbre sur A, ou une A-algèbre, si :

1. (E, +, ∙) est un module sur A ;
2. la loi de composition interne ×, de E × E dans E, est bilinéaire.

Soient A un anneau commutatif et E un module sur A muni d'une opération binaire ${\displaystyle \times :E\times E\to E,(x,y)\mapsto x\times y}$. Si cette opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que pour tous ${\displaystyle x,y,z\in E\,}$ (éléments du module) et pour tout ${\displaystyle a\in A}$ (scalaires), ces identités sont vraies :

• ${\displaystyle (x+y)\times z=(x\times z)+(y\times z)~;}$
• ${\displaystyle x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)~;}$
• ${\displaystyle (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y),}$

alors E est une algèbre sur A. On dit aussi que E est une A-algèbre où A est la base de l'algèbre E. L'opération bilinéaire est appelé la multiplication dans l'algèbre E^[1].

Lorsque A est un corps commutatif, (E,+,.) est un espace vectoriel sur A.

Un morphisme entre deux A-algèbres E et F est un morphisme ${\displaystyle \,f\,:\,E\to F}$ pour les lois internes (addition et multiplication) et le produit par des scalaires :

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),~f(x\times y)=f(x)\times f(y)~{\text{et}}~f(a\cdot x)=a\cdot f(x)}$

pour tous ${\displaystyle x,y\in E}$ et tout ${\displaystyle a\in A}$.

Un morphisme est un isomorphisme si et seulement s'il est bijectif (son inverse est alors automatiquement un morphisme d'algèbres). Deux A-algèbres sont dites isomorphes s'il existe un isomorphisme de A-algèbres de l'une vers l'autre.

• On trouve un grand nombre d'exemples d'algèbres dans les algèbres associatives, celles pour laquelle la seconde loi interne est associative. C'est ainsi le cas des anneaux ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ et des pseudo-anneaux ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ qui sont des ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-algèbres. Dans cette grande famille des algèbres associatives, on trouve aussi des ensembles qui sont munis de deux lois internes qui font d'eux des anneaux et d'une loi externe qui en font des espaces vectoriels sur un corps ou des modules sur un anneau. C'est le cas de l'ensemble des matrices carrées de dimension n sur un anneau ou de l'ensemble des polynômes sur un anneau.

• Parmi les algèbres non associatives, on peut citer :
  • les algèbres de Lie qui sont des algèbres non associatives sur un corps ;
  • pour un anneau ${\displaystyle A}$, la ${\displaystyle A}$-algèbre non associative ${\displaystyle (A^{3},+,\cdot ,\wedge )}$ où ${\displaystyle \cdot }$ est la multiplication externe et ${\displaystyle \wedge }$ le produit vectoriel.

• Algèbre sur un corps
• Algèbre de Clifford

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

v · m Structures algébriques
Pures	Magmas Groupe Quasigroupe Demi-groupe Monoïde Groupe abélien Moduloïdes Espace vectoriel Espace affine Groupe à opérateurs Module sur un anneau Annélides Anneau non associatif (en) Pseudo-anneau Demi-anneau Dioïde Anneau unitaire commutatif sans diviseur de zéro intègre Corps commutatif gauche Algèbre Algèbre associative Algèbre sur un corps Algèbre associative sur un corps Algèbre unitaire Algèbre à division Algèbre de Clifford Algèbre de Jordan Algèbre de Lie Autres Algèbre de Hopf Espace homogène
Enrichies	Espace topologique Semi-groupe topologique Monoïde topologique (en) Groupe topologique Anneau topologique Corps topologique Corps valué Module topologique (en) Espace vectoriel topologique Algèbre topologique (en) Espaces métriques Espace vectoriel normé Espace de Banach Espace préhilbertien Espace euclidien Espace hermitien Espace de Hilbert Géométrie différentielle et algébrique Groupe de Lie Groupe algébrique

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