En mathématiques , l’arc cosinus d'un nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le cosinus vaut ce nombre, entre l'angle nul (0° ou 0 rad) et l'angle plat (180° ou
π π -->
{\displaystyle \pi }
La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc cosinus en radians est notée
arccos
{\displaystyle \arccos }
Arccos
{\displaystyle \operatorname {Arccos} }
[ 1]
Acos
{\displaystyle \operatorname {Acos} }
cos
− − -->
1
{\displaystyle \cos ^{-1}}
acos
{\displaystyle \operatorname {acos} }
acs
{\displaystyle \operatorname {acs} }
Il s'agit alors de la réciproque de la fonction trigonométrique cosinus sur l'intervalle
[
0
;
π π -->
]
{\displaystyle [0;\pi ]}
repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de l'arc cosinus s'obtient à partir de la courbe de la restriction du cosinus par la symétrie d'axe la droite d'équation
y
=
x
{\displaystyle y=x}
La fonction
arccos
:
[
− − -->
1
,
1
]
→ → -->
[
0
,
π π -->
]
{\displaystyle \arccos :[-1,1]\rightarrow [0,\pi ]}
fonction réciproque de
cos
{\displaystyle \cos }
[
0
,
π π -->
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
[
0
,
π π -->
]
arccos
-->
(
cos
-->
x
)
=
x
.
{\displaystyle \forall x\in [0,\pi ]\quad \arccos(\cos x)=x.}
Contrairement aux fonctions arc sinus et arc tangente , la fonction
arccos
{\displaystyle \arccos }
parité . En revanche, elle possède la propriété suivante[ 2]
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
[
− − -->
1
,
1
]
arccos
-->
(
− − -->
x
)
=
π π -->
− − -->
arccos
-->
x
.
{\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arccos(-x)=\pi -\arccos x.}
Relation avec le sinus
Pour
X
=
arccos
-->
x
{\displaystyle X=\arccos x}
sin
-->
X
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle \sin X\geq 0}
X
∈ ∈ -->
[
0
,
π π -->
]
{\displaystyle X\in [0,\pi ]}
cos
2
-->
X
+
sin
2
-->
X
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}X+\sin ^{2}X=1}
[réf. souhaitée]
sin
-->
(
arccos
-->
x
)
=
1
− − -->
x
2
.
{\displaystyle \sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}.}
Partant de n'importe quelle formule trigonométrique , on peut l'« inverser », obtenant une relation entre valeurs des fonctions réciproques, mais qui ne sera le plus souvent valable que dans des intervalles restreints . Par exemple, puisque
cos
-->
2
x
=
2
cos
2
-->
x
− − -->
1
{\displaystyle \cos 2x=2\cos ^{2}x-1}
arccos
-->
(
2
X
2
− − -->
1
)
=
2
arccos
-->
X
{\displaystyle \arccos \left(2X^{2}-1\right)=2\arccos X}
X
∈ ∈ -->
[
0
,
1
]
{\displaystyle X\in [0,1]}
[réf. souhaitée]
Comme dérivée d'une fonction réciproque,
arccos
{\displaystyle \arccos }
]
− − -->
1
;
1
[
{\displaystyle ]-1;1[}
[ 3]
arccos
′
-->
x
=
− − -->
1
1
− − -->
x
2
.
{\displaystyle \arccos 'x={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque et à la relation avec le sinus (voir supra
Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie [ 4]
arccos
-->
x
=
∫ ∫ -->
1
x
− − -->
1
1
− − -->
t
2
d
t
.
{\displaystyle \arccos x=\int _{1}^{x}-{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t.}
Primitives
Les primitives de la fonction
arccos
{\displaystyle \arccos }
intégration par parties [ 5]
∫ ∫ -->
arccos
-->
(
x
)
d
x
=
x
arccos
-->
(
x
)
− − -->
1
− − -->
x
2
+
C
.
{\displaystyle \int \arccos(x)~\mathrm {d} x=x\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C.}
Relation entre arc cosinus et arc sinus
Représentations graphiques d'
arccos
-->
x
{\displaystyle \arccos x}
arcsin
-->
x
{\displaystyle \arcsin x}
arccos
-->
x
+
arcsin
-->
x
=
π π -->
2
{\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}
En effet,
π π -->
2
− − -->
arccos
-->
x
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos x}
− − -->
π π -->
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}
π π -->
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
son sinus est égal au cosinus de
arccos
-->
x
{\displaystyle \arccos x}
, c'est-à-dire à
x
{\displaystyle x}
π π -->
2
− − -->
arccos
-->
x
=
arcsin
-->
x
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos x=\arcsin x}
(Pour une autre méthode, voir « Monotonie et signe de la dérivée » de l'article sur les fonctions monotones .)
On peut exprimer la fonction
arccos
{\displaystyle \arccos }
logarithme complexe [ 6]
arccos
-->
(
x
)
=
− − -->
i
ln
-->
(
x
+
i
1
− − -->
x
2
)
=
π π -->
2
+
i
ln
-->
(
i
x
+
1
− − -->
x
2
)
=
π π -->
2
− − -->
arcsin
-->
(
x
)
.
{\displaystyle \arccos(x)=-\mathrm {i} \,\ln \left(x+\mathrm {i} \,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} \,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x).}
↑ Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles : Filière : scientifique (MPSI) , 35 p. (lire en ligne [PDF] ) , « Techniques fondamentales de calcul en analyse », p. 10↑ Abramowitz Stegun , 4.4.15, p. 80. ↑ Abramowitz Stegun , 4.4.53, p. 82. ↑ Abramowitz Stegun , 4.4.2, p. 79. ↑ Abramowitz Stegun , 4.4.59, p. 82. ↑ Abramowitz Stegun , 4.4.27, p. 80.
Voir aussi
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Articles connexes
Liens externes
![{\displaystyle [0;\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ba33419dc889bf6c0c684b11285afda3437c95)
![{\displaystyle \arccos :[-1,1]\rightarrow [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14feaa300e6792fc9f0318b980684c3dc21c5a84)
![{\displaystyle [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
![{\displaystyle \forall x\in [0,\pi ]\quad \arccos(\cos x)=x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2407ccdc4fc61999a6d4d944e734ad5931e16c)
![{\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arccos(-x)=\pi -\arccos x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a1b34eb169e498d045608a8b40ae7813e5e32b)
![{\displaystyle X\in [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dfcbf907fdf84ea0ce5503a6a2a4707fc684823)
![{\displaystyle X\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ec55d3c6559ee5cf49baa2cebfa45e213571fa)
![{\displaystyle ]-1;1[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95353e6918712f9ca3c0496735c0df894bd6603b)
