Le 5 mai 2016, Red Bull annonce sa décision à effet immédiat de transférer Daniil Kvyat chez Toro Rosso alors que le baquet de la voiture qu'il a piloté lors des quatre premiers Grand Prix de la saison 2016 est attribué à Max Verstappen.
Le 19 juillet 2013, lors des essais privés de Silverstone, Kvyat pilote pour la première fois une Formule 1. Au volant d'une Toro Rosso STR8, il réalise le onzième temps des seize pilotes présents[4].
Daniil Kvyat obtient sa superlicence l'autorisant à courir lors des weekends de Grand Prix le 8 novembre 2013 en parcourant plus de 300 kilomètres au volant d'une monoplace de 2011 sur le circuit italien de Misano. Le Russe remplace Jean-Éric Vergne lors des premiers essais libres du Grand Prix des États-Unis puis Daniel Ricciardo lui laisse son baquet pour les essais libres du Grand Prix du Brésil[7],[8].
En Australie, lors du Grand Prix d'ouverture de la saison, Daniil Kvyat se qualifie en huitième position. En terminant neuvième de la course derrière son coéquipier Jean-Éric Vergne, il devient, à 19 ans 10 mois et 18 jours, le plus jeune pilote à inscrire un point en championnat du monde ; il bat le précédent record de Sebastian Vettel, établi à 19 ans 11 mois et 14 jours en 2007[9](son record est battu par Max Verstappen en 2015).
Kvyat marque un nouveau point lors du Grand Prix suivant, en Malaisie. Onzième lors du Grand Prix de Bahreïn, il marque à nouveau en Chine où il se classe dixième. La suite de la saison s'avère beaucoup plus difficile et il termine quinzième du championnat. Le 4 octobre 2014, à la suite du départ de Sebastian Vettel à la fin de la saison, l'écurie Red Bull Racing annonce le recrutement de Kvyat pour le remplacer aux côtés de Daniel Ricciardo.
Lors du Grand Prix inaugural, à Melbourne, Daniil Kvyat se classe treizième des qualifications, le lendemain, il ne dispute pas la course car sa boîte de vitesses casse durant le tour de mise en grille. Au Grand Prix suivant, cinquième des qualifications, il se classe neuvième de la course après s'être accroché avec Nico Hülkenberg. En Chine, il abandonne après une casse de son moteur. Il termine neuvième à Bahreïn et dixième en Espagne. Après ses cinq premières courses avec l'écurie autrichienne, Kvyat n'a alors inscrit que cinq points et pointe au quinzième rang du championnat. Sa saison va prendre de meilleurs couleurs par la suite : au Grand Prix de Monaco, il obtient son meilleur résultat depuis ses débuts en terminant quatrième, juste devant Ricciardo. Il finit ensuite neuvième au Canada, puis hors des points en Autriche avant une sixième place en Grande-Bretagne.
Au Grand Prix de Hongrie, parti de la septième place, il profite de l'abandon de Kimi Räikkönen et du ratage des Mercedes, Nico Rosberg s'accrochant avec son coéquipier Ricciardo en fin de course, pour terminer deuxième et devenir le deuxième pilote russe à monter sur un podium après Vitaly Petrov, lequel avait terminé troisième au Grand Prix d'Australie 2011. Kvyat marque des points lors des trois Grands Prix suivants mais, lors de la troisième phase des qualifications du Grand Prix du Japon, il perd le contrôle de sa monoplace et percute violemment les rails ; le lendemain, parti des stands, il finit treizième.
Il termine cinquième de son Grand Prix national puis, quinze jours plus tard, au Grand Prix des États-Unis, perd le contrôle de sa voiture après avoir mis deux roues dans l'herbe artificielle et tape le rail, ce qui provoque son abandon, alors que lui et son équipier se battaient aux avant-postes pour une des rares fois de la saison. Il renoue avec les points au Grand Prix suivant, au Mexique, en finissant quatrième ; le lendemain Christian Horner confirme sa reconduction pour une nouvelle saison. Septième du Grand Prix du Brésil puis dixième à Abou Dhabi, il termine sa première saison chez Red Bull Racing à la septième place du championnat du monde avec 95 points, et trois points de plus que son coéquipier Daniel Ricciardo.
2016 : début de saison mitigé et retour chez Toro Rosso
Daniil Kvyat sous les couleurs de Red Bull au Grand Prix de Bahreïn 2016.
Pour l'ouverture de saison, en Australie, le scénario de la saison dernière se répète : Kvyat ne peut prendre le départ à cause d'un souci technique. Il termine ensuite septième à Bahreïn.
Lors du départ en Chine, il provoque un accrochage entre les Ferrari de Sebastian Vettel et de Kimi Räikkönen en s'infiltrant à l'intérieur au premier virage. Vettel et Kvyat, deuxième et troisième, s'expliqueront lors de l'avant-podium, le pilote Ferrari reprochant au pilote Red Bull sa manœuvre du premier tour, et le Russe rétorquant qu'il n'a fait que tenter sa chance. Cela place en tout cas Kvyat provisoirement septième du championnat avec 21 points. Cela sonne en vérité le début de la fin pour le jeune pilote russe.
Au Grand Prix de Russie, il provoque un nouvel incident de course au premier tour. Par deux fois, le Russe heurtera la Ferrari de Vettel, provoquant l'abandon de celui-ci, mais, plus grave encore, cet incident ruine également la course de son équipier Daniel Ricciardo, amenant à un zéro pointé pour l'écurie autrichienne.
Kvyat au volant de la Toro Rosso au Grand Prix de Grande-Bretagne.
Red Bull annonce, le 5 mai 2016, dans la semaine précédant le Grand Prix d'Espagne, le transfert de Max Verstappen de la Scuderia Toro Rosso vers Red Bull Racing par échange de sa place avec Daniil Kvyat, rétrogradé chez Toro Rosso en raison du double incident à Sotchi[10]. Christian Horner, le directeur de Red Bull Racing déclare : « Max a prouvé qu'il avait déjà beaucoup de talent, ses performances chez Toro Rosso ont été impressionnantes et nous sommes ravis de lui donner l'opportunité de piloter pour Red Bull. Nous avons la chance d'avoir quatre pilotes avec des longs contrats, nous pouvons donc les transférer d'une équipe à une autre. Daniil pourra continuer sa progression chez Toro Rosso, dans une écurie qu'il connaît bien et où il pourra démontrer tout son potentiel[11]. » Pour son retour chez Toro Rosso, il termine dixième et réalise son premier meilleur tour en course, le premier également de son écurie, tandis que son remplaçant Verstappen remporte son premier Grand Prix.
Jusqu'à la fin de la saison, il n'entrera qu'à deux reprises dans les points, avec une dixième place en Grande-Bretagne et une neuvième à Singapour. Il termine finalement cette saison 2016 à la quatorzième place avec 25 points, loin de son nouvel équipier Carlos Sainz Jr., douzième avec 46 points, et totalement éclipsé chez Red Bull par Verstappen, cinquième du championnat avec sept podiums.
2017 : éviction en cours de saison
Daniil Kvyat au Grand Prix de Grande-Bretagne 2017.
En 2017, Daniil Kvyat reste chez Toro Rosso aux côtés de Carlos Sainz Jr. À nouveau, le Russe est nettement dominé par l'Espagnol qui inscrit souvent des points tandis que Kvyat ne récolte que deux neuvièmes places en Australie et en Espagne.
Il est à nouveau impliqué dans un incident de course avec son coéquipier lors du premier tour du Grand Prix de Grande-Bretagne : les Toro Rosso sont à la lutte mais une mauvaise manœuvre du Russe l'amène à harponner son coéquipier qui abandonne. La tension monte encore d'un cran entre les deux pilotes. Tandis que Sainz continue de marquer des points, Kvyat s'en trouve incapable et adopte un comportement erratique. Ainsi, au Grand Prix de Singapour, Sainz Jr. finit quatrième quand Kvyat termine sa course au onzième tour, dans un mur de pneus.
Le 26 septembre 2017, Toro Rosso annonce que le Français Pierre Gasly, pilote de réserve de la Scuderia Toro Rosso, prend sa place pour les Grands Prix de Malaisie et du Japon[12]. Gasly étant parti disputer la dernière manche de Super Formula, où il joue le titre, et Carlos Sainz Jr. étant parti chez Renault, Kvyat fait son retour au Grand Prix des États-Unis aux côtés d'un nouveau coéquipier : le Néo-Zélandais Brendon Hartley. Comme il était attendu, le Russe est devant Hartley durant tout le week end, et en terminant dixième, il inscrit son premier point depuis douze courses et le Grand Prix d'Espagne en mai, mais cela ne suffit pas pour sauver sa place : le , Helmut Marko confirme que « Daniil Kvyat ne reviendra pas » après le Grand Prix des États-Unis. Pierre Gasly et Brendon Hartley font équipe chez Toro Rosso jusqu'à la fin de la saison 2017[1]. Le pilote russe termine sa saison avec Toro Rosso à la dix-neuvième place du championnat, avec cinq points.
2018-2021 : Ferrari, Toro Rosso et Alpine
Daniil Kvyat au Grand Prix d'Autriche 2019.
Le , Daniil Kvyat devient pilote de développement pour Ferrari pour la saison 2018[13]. Le 29 septembre 2018, Toro Rosso annonce son retour pour la saison 2019 où il remplace Pierre Gasly promu chez Red Bull Racing[14]
En Australie, pour son premier Grand Prix depuis un an et demi, Daniil Kvyat termine dixième, inscrivant son premier point depuis le Grand Prix des États-Unis 2017. Il ne marque pas lors des trois courses suivantes mais revient dans les points en Espagne avec la neuvième place, à Monaco, où il se classe septième, son meilleur résultat en plus de trois ans, au Canada, avec la dixième place.
Durant l'été, il termine neuvième à Silverstone et s'illustre en Allemagne où, parti quatorzième, il termine troisième d'un Grand Prix pluvieux ; c'est son premier podium depuis le Grand Prix de Chine 2016 et le premier pour la Scuderia Toro Rosso depuis la victoire de Sebastian Vettel au Grand Prix d'Italie 2008, également disputé sous la pluie. En Belgique, il termine septième. En Italie, alors qu'il était dans les points durant la course, il subit une fuite d'huile et abandonne. Les deux courses suivantes, il ne marque pas de points. Au Japon, il se qualifie quatorzième et termine dixième, grâce aux disqualifications des deux pilotes Renault. Lors des deux courses suivantes, il termine hors des points.
Toro Rosso, qui devient ensuite la Scuderia AlphaTauri, confirme Daniil Kvyat pour la saison 2020, toujours aux côtés de Pierre Gasly[15]. Au terme de la saison, le Russe termine treizième du championnat avec 37 points.
Le 17 décembre 2020, la Scuderia AlphaTauri annonce le remplacement de Kvyat par Yuki Tsunoda pour la saison 2021 de Formule 1. Le 2 mars 2021, Daniil Kvyat rejoint l'équipe Alpine F1 Team comme pilote de réserve.
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