Engéométrie, il existe plusieurs façons (géométrique, combinatoire) de mettre les polyèdres en dualité : on peut se passer de support géométrique et définir une notion de dualité en termes purement combinatoires, qui s'étend d'ailleurs aux polyèdres et polytopes abstraits. Dans chaque cas, à tout polyèdre est associé un polyèdre appelé dual du premier, tel que :
le dual du polyèdre dual est le polyèdre initial,
les faces de l'un sont en correspondance avec les sommets de l'autre, en respectant les propriétés d'adjacence.
L'exemple le plus simple de dualité s'obtient pour les polyèdres réguliers convexes en reliant les centres des faces adjacentes (voir § Dualité des solides de Platon).
Le petit dodécaèdre étoilé est le dual du grand dodécaèdre, et le grand dodécaèdre étoilé est le dual du grand icosaèdre. (Voir l'article Solide de Kepler-Poinsot.)
Pour un polyèdre uniforme, les faces du polyèdre dual peuvent être trouvées à partir des figures de sommets du polyèdre d'origine en utilisant la construction dite de Dorman Luke.
À titre d'exemple, l'illustration ci-dessous montre une figure de sommet (rouge) du cuboctaèdre utilisée pour obtenir une face (bleue) du dodécaèdre rhombique.
Détails de la construction de Dorman Luke :
- dessiner la figure de sommet obtenue en marquant les milieux A, B, C, D de chaque arête issue du sommet considéré ;
- tracer les tangentes au cercle circonscrit en chaque sommet A, B, C, D ;
- marquer les points E, F, G, H où chaque tangente rencontre une tangente adjacente ;
- le polygone EFGHest une face du polyèdre dual.
Dans cet exemple, le cercle circonscrit à la figure de sommet se trouve sur l'intersphère du cuboctaèdre, qui devient également l'intersphère du dodécaèdre rhombique dual.
La construction de Dorman Luke ne peut être utilisée que lorsqu'un polyèdre a une telle intersphère et que la figure de sommet est circulaire. En particulier, elle peut être appliquée aux polyèdres uniformes.
