Flux (mathématiques)

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En analyse vectorielle, on appelle flux d'un champ vectoriel deux quantités scalaires analogues, selon qu'on le calcule à travers une surface ou une courbe.

On appelle flux (ou intégrale de surface) du champ vectoriel ${\displaystyle \mathbf {F} }$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ à travers la surface orientée ${\displaystyle \Sigma }$ la quantité scalaire

${\displaystyle \Phi \equiv \int _{\Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

où ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }$ représente un vecteur normal élémentaire et ${\displaystyle \cdot }$ le produit scalaire. Si la surface est donnée par le paramétrage ${\displaystyle \sigma (u,v)}$ (où ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ varient dans un ouvert ${\displaystyle \Omega }$), ce vecteur est fourni par

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =\left[{\frac {\partial \sigma }{\partial u}}\times {\frac {\partial \sigma }{\partial v}}\right]\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$

et le flux est alors

${\displaystyle \Phi =\iint _{\Omega }\mathbf {F} {\bigl (}\sigma (u,v){\bigr )}\cdot \left[{\frac {\partial \sigma }{\partial u}}\times {\frac {\partial \sigma }{\partial v}}\right]\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v=\iint _{\Omega }\det \left(\mathbf {F} ,{\tfrac {\partial \sigma }{\partial u}},{\tfrac {\partial \sigma }{\partial v}}\right)\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$

Si ${\displaystyle \Sigma }$ est une surface fermée (on dit aussi sans bord) entourant un volume^[1] ${\displaystyle V}$ alors le flux peut être déterminé d'une autre manière, en invoquant le théorème de flux-divergence :

${\displaystyle \Phi =\oint _{\Sigma }\mathbf {F} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =\iiint _{\mathcal {V}}\operatorname {div} \,\mathbf {F} \;{\rm {d}}^{3}V}$

De la même manière, on définit le flux du champ ${\displaystyle \mathbf {F} =(P,Q)}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ à travers la courbe ${\displaystyle \Gamma }$ la quantité

${\displaystyle \Psi =\int _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {n} =\iint _{\Gamma }(P\,\mathrm {d} y-Q\,\mathrm {d} x)}$

où ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {n} =(\mathrm {d} y,-\mathrm {d} x)}$ représente un vecteur normal élémentaire. Cela revient à définir le flux de ${\displaystyle \mathbf {F} }$ comme la circulation (ou intégrale curviligne) du champ orthogonal ${\displaystyle \mathbf {G} =(-Q,P)}$ :

${\displaystyle \Psi =\int _{\Gamma }\mathbf {G} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$

avec ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =(\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)}$. Le flux d'un champ à travers une courbe, à l'inverse de sa circulation, ne dépend que de sa composante normale à la courbe.

• Flux (physique)
• Intégrale de surface
• Intégrale curviligne
• Champ de vecteurs
• Théorème de Gauss (électromagnétisme) - Permet de calculer le flux d'un champ électrique à travers une surface

v · m Analyse vectorielle
Objets d'étude	Champ de vecteurs Champ scalaire Équation aux dérivées partielles Équation de Laplace Équation de Poisson
Opérateurs	Nabla Gradient Rotationnel Rotationnel du rotationnel Divergence Laplacien scalaire Bilaplacien Laplacien vectoriel D'alembertien Advection
Théorèmes	Théorème de Green Théorème de Stokes Théorème de Helmholtz-Hodge Théorème de la divergence Théorème du gradient Théorème du rotationnel

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