Groupe sporadique

En mathématiques, un groupe sporadique est l'un des 26 groupes exceptionnels dans la classification des groupes simples finis. Un groupe simple est un groupe G non trivial qui ne possède aucun sous-groupe normal à part son sous-groupe trivial (réduit à l'élément neutre) et G lui-même. Le théorème de classification affirme que les groupes simples finis peuvent être regroupés en 18 familles infinies dénombrables, plus 26 exceptions qui ne suivent pas un motif systématique (ou 27, si le groupe de Tits est considéré comme un groupe sporadique).

Le plus petit groupe sporadique possède 7 920 éléments ; le plus grand, le groupe Monstre, environ 8 × 10⁵³.

Cinq des groupes sporadiques furent découverts par Émile Mathieu dans les années 1860 et les 21 autres entre 1965 et 1975. L'existence de plusieurs de ces groupes fut conjecturée avant leur construction effective. La plupart portent le nom du ou des mathématiciens qui émirent les premiers ces conjectures. L'arrivée de l'ordinateur a été déterminante dans l'identification de ces groupes, dont la liste est la suivante :

• Groupes de Mathieu M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃, M₂₄
• Groupes de Janko J₁, J₂ (également appelé groupe de Hall-Janko HJ), J₃, J₄
• Groupes de Conway Co₁, Co₂, Co₃
• Groupes de Fischer Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄
• Groupe de Higman-Sims HS
• Groupe de McLaughlin McL (noté aussi Mc)
• Groupe de Held He
• Groupe de Rudvalis Ru
• Groupe de Suzuki Suz
• Groupe de O'Nan O'N
• Groupe de Harada-Norton HN (noté aussi F₅)
• Groupe de Lyons Ly
• Groupe de Thompson Th (noté aussi F₃)
• Groupe Bébé Monstre B (noté aussi F₂)
• Groupe Monstre M, ou groupe de Fischer-Griess (noté aussi F₁)

Les représentations sur les corps finis de tous les groupes sporadiques ont été calculées, excepté pour le groupe Monstre.

Sur les 26 groupes sporadiques, 20 sont des sous-quotients du groupe Monstre. Les six exceptions sont J₁, J₃, J₄, O'N, Ru et Ly. Ces six groupes sont quelquefois dénommés « parias ».

Les 20 groupes restants peuvent être organisés en trois générations.

La première génération de groupes sporadiques sont les groupes de Mathieu M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃ et M₂₄ sont des groupes de permutations multiplement transitifs. Tous sont des sous-groupes de M₂₄, groupe de permutation sur 24 éléments.

La deuxième génération rassemble tous les quotients de sous-groupes du groupe des automorphismes du réseau de Leech :

• Co₁ : quotient du groupe des automorphismes par son centre ;
• Co₂ : stabilisateur d'un vecteur de type 2 ;
• Co₃ : stabilisateur d'un vecteur de type 3 ;
• Suz : groupe des automorphismes préservant une structure complexe (modulo son centre) ;
• McL : stabilisateur d'un triangle de type 2-2-3 triangle ;
• HS : stabilisateur d'un triangle de type 2-3-3 triangle ;
• J₂ : groupe des automorphismes préservant une structure quaternionique (modulo son centre).

La troisième génération est constituée de sous-groupes fortement liés au groupe Monstre M:

• B ou F₂ : possède un revêtement (en) double qui est le centralisateur d'un élément d'ordre 2 dans M ;
• Fi₂₄′ : possède un revêtement triple qui est le centralisateur d'un élément d'ordre 3 dans M (dans la classe de conjugaison 3A) ;
  • Fi₂₃ : sous-groupe de Fi₂₄′ ;
  • Fi₂₂ : possède un revêtement qui est un sous-groupe de Fi₂₃ ;
• Th : Le produit de Th et d'un groupe d'ordre 3 est le centralisateur d'un élément d'ordre 3 dans M (dans la classe de conjugaison 3C) ;
• HN : Le produit de HN et d'un groupe d'ordre 5 est le centralisateur d'un élément d'ordre 5 dans M ;
• He : Le produit de He et d'un groupe d'ordre 7 est le centralisateur d'un élément d'ordre 7 dans M ;
• M : le groupe Monstre lui-même fait partie de cette génération.

Cette série ne se limite pas à cette génération : le produit de M₁₂ et d'un groupe d'ordre 11 est le centralisateur d'un élément d'ordre 11 dans M.

Si on considère le groupe de Tits ²F₄(2)′ comme un groupe sporadique, il fait également partie de cette génération : il existe un sous-groupe S₄ײF₄(2)′ normalisant un sous-groupe 2C² de B, donnant naissance à un sous-groupe 2·S₄ײF₄(2)′ normalisant un certain sous-groupe Q₈ du Monster. ²F₄(2)′ est également un sous-groupe de Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄′ et B.

Le tableau suivant donne la liste des groupes sporadiques par ordre croissant (suivant la suite A001228 de l'OEIS).

• (en) Eric W. Weisstein, « Sporadic Group », sur MathWorld
• (en) Atlas of Finite Group Representations: Sporadic groups

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