Né à Peterborough en Angleterre, Harrison Burrows est formé par le club local de Peterborough United, qu'il rejoint en 2008. Le , il signe son premier contrat professionnel avec son club formateur[1].
C'est avec ce club qu'il fait ses débuts en professionnels, jouant son premier match le , lors d'une rencontre de coupe de la Ligue anglaise contre Oxford United. Il entre en jeu à la place de George Boyd, et son équipe s'incline par un but à zéro ce jour-là[2]. Il joue son premier en en championnat le 24 août 2019, contre Milton Keynes Dons. Son équipe l'emporte par quatre buts à zéro ce jour-là[3].
Lors de la saison 2020-2021, Burrows participe à la montée du club en deuxième division, Peterborough United terminant deuxième du championnat[4].
Burrows découvre alors le Championship, jouant son premier match le 14 août 2021, lors de la deuxième journée de la saison 2021-2022, contre Derby County. Il entre en jeu et se fait remarquer en inscrivant également son premier but dans la compétition. Son équipe parvient à s'imposer ce jour-là (2-1 score final)[5],[6].