Métrique riemannienne

En géométrie différentielle, les métriques riemanniennes sont la notion de base de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Bernhard Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La même année, Hermann von Helmholtz publie des résultats analogues.

Les métriques riemanniennes sont des familles différentiables de formes quadratiques définies positives.

Définitions

Sur un fibré vectoriel E→M, une métrique riemannienne g est la donnée d'un produit scalaire g_x sur chaque fibre E_x qui dépend de manière lisse du point de base x variant dans M. Plus formellement, x↦g_x est une section en tout point définie positive du fibré vectoriel S²E→M des formes bilinéaires symétriques. On dit que la donnée (E,g) est un fibré riemannien.

Pour deux fibrés riemanniens (E,g) et (F,g' ) sur M, un morphisme de fibrés riemanniens f:(E,g)→(E,g' ) est un morphisme de fibrés vectoriels f:E→E' tel que, pour tout point x de M, l'application linéaire f_x:E_x→F_x est une isométrie linéaire, c'est-à-dire :

\forall v,w\in E_{x},\quad g'_{x}(f_{x}(v),f_{x}(w))=g_{x}(v,w).

Si M est une variété différentielle, une métrique riemannienne sur M est simplement une métrique riemannienne sur son fibré tangent. La donnée (M,g) est une variété riemannienne.

Étant données deux variétés riemanniennes (M,g) et (N,g' ), une isométrie F:(M,g)→(N,g' ) est une application différentiable F:M→N telle que l'application tangente dF:(TM,g)→(TN,g' ) est un morphisme de fibrés riemanniens. Cette dernière condition se réécrit : F*g'=g.

Exemples

Tout produit scalaire $\langle \,,\,\rangle$ sur ℝⁿ induit sur tout fibré vectoriel trivial M×ℝⁿ→M une métrique riemannienne : $g_{x}((x,v),(x,w))=\langle v,w\rangle$ .
Soient g une métrique riemannienne sur E→M et P une variété. Pour une fonction différentiable ψ:P→M, il existe sur le fibré vectoriel tiré en arrière ψ*E→P une unique métrique riemannienne ψ*g telle que le morphisme naturel ψ*E→E soit un isomorphisme de fibrés riemanniens.
Si g est une métrique riemannienne sur E→M, alors, par restriction, g définit une métrique riemannienne sur tout sous-fibré vectoriel de E.
La limite de la métrique de Minkowski ${\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-{\rm {d}}x^{2}-{\rm {d}}y^{2}-{\rm {d}}z^{2}$ quand c tend vers l'infini est une métrique de fibré. Le temps devient absolu et l'espace-temps se fibre dessus, on retrouve la transformation de Galilée. A deux instants différents la métrique est la différence des temps. Au même instant, dans une fibre d'espace isomorphe à $\mathbb {R} ^{3}$ , la métrique est le produit scalaire usuel.

Existence

Sur tout fibré vectoriel de base paracompacte, il existe une métrique riemannienne.

Démonstrations

Preuve via une partition de l'unité.

Pour tout ouvert U suffisamment petit de M, le fibré vectoriel π^-1(U)→U est trivialisable. Or, par ci-dessus, tout fibré vectoriel trivialisable admet une métrique riemannienne. Donc, il existe une métrique riemannienne g^U sur π^-1(U).

En utilisant la paracompacité de M, il existe un recouvrement dénombrable (U_n)_n∈ℕ de M tel que, pour tout entier n, il existe une métrique riemannienne g_n sur le fibré vectoriel π^-1(U_n)→U_n. Soit (ϕ_n)_n∈ℕ une partition de l'unité subordonnée à (U_n)_n∈ℕ. L'application x↦ϕ_n(x)g_n(x) est une section globale de S²π^-1(U_n)→U_n nulle au voisinage de la frontière ∂U_n. Elle se prolonge par $0$ en une section globale de S²E→M, abusivement notée x↦ϕ_n(x)g_n(x).

On pose alors :

g=\sum _{n\in \mathbb {N} }\phi _{n}g_{n}:x\mapsto \sum _{n\in \mathbb {N} }\phi _{n}(x)g_{n}(x)

. C'est une section de S²E→M, et elle bien définie positive en tout point

x

de M : si

x

appartient à l'intérieur du support de

\phi _{n}

, et pour tout vecteur non nul

v

de

E_{x}

,

g(v,v)\geq \phi _{n}(x)g_{x}^{n}(v,v)>0

.

Preuve via un plongement.

Il existe un fibré vectoriel F→M tel que E⊕F→M soit trivialisable. On utilise à ce niveau la paracompacité de M. Il existe donc une métrique riemannienne sur E⊕F→M qui se restreint en une métrique riemannienne sur E→M.

Bien que plus court en apparence, ce second argument dissimule la difficulté dans l'existence de $F$ . Cette existence fait aussi appel à un argument de partition de l'unité.

En particulier :