Fils d'un violoniste professionnel, André « Kiki » Saury[2], Maxim Saury commence par suivre des cours de violon entre 1940 et 1942, mais l'instrument ne lui convient pas et il se tourne dès 1943 vers la clarinette. En 1946, il entre dans l'orchestre de Christian Azzi, puis, l'année suivante, rejoint la formation de Claude Bolling, qu'il quitte en 1949 pour monter un trio et qu'il réintègre en 1951[3].
En 2008, Maxim Saury se remarie, à l'âge de 80 ans. Et, en 2009, il se produit encore en diverses soirées, en galas et en concerts, fêtant ses « soixante ans de carrière »[4].
Il meurt à l’âge de quatre-vingt-quatre ans, le à l’hôpital Ambroise-Paré de Boulogne-Billancourt, à la suite de problèmes cardiaques[1].
Maxim Saury est le père de la batteuse de jazz Julie Saury.