La convergence quadratique de ces suites permet une approximation rapide de la moyenne arithmético-géométrique qui est notamment associée à la longueur d'une ellipse en fonction des longueurs de ses axes.
Définition
Étant donné deux réels positifs et , on définit deux suites positives et , de premiers termes , et satisfaisant les relations de récurrence :
.
Les deux suites et sont adjacentes[1] :
pour tout (car ), si bien que est croissante (), est décroissante (), et donc .
D'après le théorème des suites adjacentes, et ont donc une limite commune, , appelée la moyenne arithmético-géométrique de et .
La moyenne arithmético-géométrique est bien une moyenne
Étant donné deux réels positifs et , on montre que :
;
par conséquent, ;
il ressort directement de la définition que pour , . Cette propriété, jointe à la précédente, signifie que la moyenne arithmético-géométrique est (comme toutes les autres moyennes[2]) une fonction symétrique et homogène d'ordre 1 en et ;
où K(k) est l'intégrale elliptique de première espèce :
Il a montré (voir Transformation de Landen) en effet que l'intégrale vérifiait aussi la relation . Par conséquent, on a, par récurrence sur n, , où un et vn sont les deux suites arithmético-géométriques associées à a et b. Puis, par passage à la limite, .
La relation de Gauss et la rapidité de la convergence des deux suites arithmético-géométriques vers la moyenne donne un moyen rapide de calcul numérique approché précis de la valeur de l'intégrale elliptique .
Histoire
La moyenne arithmético-géométrique a été découverte indépendamment par les mathématiciens Adrien-Marie Legendre puis Carl Friedrich Gauss qui s'en servirent pour calculer de façon approchée la longueur de l'arc d'ellipse quelconque, qui s'exprime comme une intégrale elliptique, et même est à l'origine de l'intérêt pour ce domaine de l'analyse. Analysant les relations entre la moyenne arithmético-géométrique et les intégrales elliptiques de 1re espèce, Gauss, dans ses Cahiers mathématiques attira l'attention[3] sur la relation (donnant la longueur d'arc d'une lemniscate de Bernoulli) :
.
↑Cf. Carl Friedrich Gauss, Mathematisches Tagebuch 1796–1814 : avec une introduction historique de Kurt-R. Biermann, Francfort-sur-le-Main, Harri Deutsch, coll. « Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften » (no 256) (réimpr. 2005, 5e éd., révisée et annotée par Hans Wussing et Olaf Neumann), « 98 (Brunswick, 30 mai 1798) » : « Terminum medium arithmetico-geometricum inter 1 et esse usque ad figuram undecimam comprobavimus, qua re demonstrata prorsus novus campus in analysi certo aperietur. » De là, , la constante de la lemniscate étudiée par Gauss.