Pocket Cube

Données clés
Mécanisme	Rubik's Cube
Joueur(s)	1
Durée annoncée	variable

Le Pocket Cube est un équivalent 2×2×2 du Rubik's cube. Il est constitué de seulement 8 petits cubes (au lieu de 26 pour le Rubik's Cube).

Les états

Orientation du Cube

Prenons un Pocket standard avec ces 6 couleurs ainsi :

(b)lanc , (j)aune , (v)ert , (k)lein , (o)range et (r)ouge.

On pose le Cube sur la table, il possède alors 6 faces ainsi nommées :

(H)aut, (B)as, (A)vant, (P)ostérieur, (G)auche, (D)roite.

On commence par fixer le Cube c'est-à-dire orienter le Cube ainsi :

(H)aut=(b)lanc, (B)as=(j)aune, (A)vant=(v)ert, (P)ostérieur=(k)lein, (G)auche=(o)range, (D)roite=(r)ouge.

Définition d'un état du Cube

Un état est une configuration des autocollants promenant des rotations de base { H,B,A,P,G,D } ayant respecté l'orientation du Cube. Autrement dit on obtient un état en mélangeant le Cube avec les rotations de base {H,B,A,P,G,D} sans tourner, ni bouger le Cube, c'est comme si le Cube est fixé par un mécanisme et on peut seulement tourner les faces.

état e

état b

Ex des états : e = (H=b,A=v) , b=(H=r,A=j) , …

L'état e se nomme l'état résolu (il y a un seul état résolu). Le calcul montre que pour le Pocket il y a 88179840 états.

Tout ce qui dit ici pour le Pocket, est valable aussi pour le Rubik's Cube. C'est-à-dire on oriente le Rubik's Cube comme on oriente le Pocket… On trouve alors que le Rubik's Cube a 43 252 003 274 489 856 000 états.

En 1993, Jerry Bryan écrivait un programme informatique pour calculer le diamètre du Pocket et a trouvé 14.

distance	q
0	1
1	12
2	114
3	924
4	6539
5	39528
6	199926
7	806136
8	2761740
9	8656152
10	22334112
11	32420448
12	18780864
13	2166720
14	6624
total	88179840

Les classes

Lors d'une compétition, l'état b est considéré comme l'état résolu. En fait l'état e et l'état b sont équivalents pour le jury.

Ainsi mathématiquement on classe les états dans une même classe (même boîte) suivant un certain critère Ici le critère est le groupe de déplacement, ou le groupe des isométries positives du Cube D(P). Ce groupe possède 24 éléments.

Deux états u et v sont équivalents s'il existe une rotation $f\in D(P)$ qui fait passer de u à v.

$u\sim v\Leftrightarrow \exists f\in D(P)\ \ ;f(u)=u\bullet f=v$

On montre alors qu'il y a 3674160 classes et chaque classe possède 24 éléments..

En effet toute permutation des 8 sommets est possible (8! positions), et 7 des sommets peuvent être orientés différemment (3⁷ positions). L'orientation du Pocket dans l'espace n'a pas d'importance (pour un jury de compétitions) , ce qui donne le nombre de classes en divisant le nombre de positions par 24.

Le nombre de classes est donc :

{\frac {8!\times 3^{7}}{24}}=7!\times 3^{6}=3\ 674\ 160

.

L'étude mathématique du Pocket revient en fait à étudier uniquement les « sommets » du Rubik's Cube

Il est possible de trouver toutes les classes informatiquement

Le tableau suivant indique le nombre de classes en f-métrique (A² compte 1) et le nombre de classes en q-métrique (A² compte 2)

Exemple : il y a 1847 classes à distance 4f , et 534 classes à distance 4q .

distance	f	q
0	1	1
1	9	6
2	54	27
3	321	120
4	1 847	534
5	9 992	2 256
6	50 136	8 969
7	227 536	33 058
8	870 072	114 149
9	1 887 748	360 508
10	623 800	930 588
11	2 644	1 350 852
12		782 536
13		90 280
14		276
total	3 674 160	3 674 160

Remarque : il se trouve que le diamètre du graphe des classes (14q) est le même que le diamètre du graphe d'états (14q).

e et b sont dans une même classe car on passe de e à b par une rotation. Ces classes se nomment les iso+ classes

Il y a une grande différence entre un état et une classe la classe cl(e) est un ensemble ayant 24 éléments, alors que e est un état une configuration des autocollants.

Comme les classes modulo 3 (il y a 3 classes)

1 est un nombre, la classe de 1, cl(1) est un ensemble infini d'éléments.

Résumé :

Le Rubik's Cube a: 43 252 003 274 489 856 000 états

Le Pocket a : 88179840 états.

On sait que l'ensemble des états forme un groupe et dans un groupe il y a un seul élément neutre e (état résolu) donc pour le Pocket mathématiquement on ne peut pas considérer b comme un état résolu .

Remarque importante :

Il est important de maîtriser le concept d'états. Un état est une configuration des autocollants provenant des rotations de base en respectant l'orientation du Cube.

Prenons un Rubik's Cube et un Pocket mélangés Posez le Rubik's Cube et le Pocket sur la table avec une face devant.

(a)

(b)

(c)

est ce que (a), (b), (c) sont des états ?? Pour le Rubik's Cube on a la réponse immédiatement

(a) = non, ce n'est pas un état

(b) = oui, c'est un état

(c) = on ne sait pas ! tout dépend du mélangeur, s'il y a mélangé le Pocket en gardant l'orientation du Cube càd sans tourner, sans bouger le Cube alors oui c'est un état, sinon, ce n'est pas un état.

C'est la différence entre le Rubik's Cube et le Pocket (c'est pareil avec le Revenge)

Pour le Pocket, le fait qu'on ne peut pas répondre immédiatement oui ou non une configuration est un état ou non , ceci rend la confusion entre les états et les classes du Pocket.

Records récents

Meilleur temps *(records successifs)*
Temps	Compétiteur	Nationalité	Lieu	Date
0 s 43	Teodor Zajder	Pologne	Warsaw Cube Masters 2023	5 novembre 2023
0 s 47	Guanbo Wang	Chine	Northside Spring Saturday 2022	26 novembre 2022
0 s 49	Maciej Czapiewski	Pologne	Grudziądz Open 2016	20 mars 2016
Voir la suite ou modifier

Meilleure moyenne *(records successifs)*^[1]
Temps	Compétiteur	Nationalité	Lieu	Date
0 s 78	Yiheng Wang	Chine	Johor Cube Open 2024	22 juin 2024
0 s 92	Zayn Khanani	États-Unis	New-Cumberland County 2024	9 mars 2024
0 s 93	Yiheng Wang	Chine	Twist & Fries Johor Bahru 2024	24 février 2024
Voir la suite ou modifier

La moyenne est calculée sur 5 tentatives en enlevant le meilleur et le moins bon temps.

Désignation des rotations

Dans tous les cubes la désignation est identique :

Une lettre non suivie d'un prime signifie un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre ;
Une lettre suivie d'un prime signifie un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ;
La lettre est l'initiale de la rotation en anglais :
(U)p = (H)aut, (D)own = (B)as, (F)ront = (A)vant, (B)ack = (P)ostérieur, (L)eft = (G)auche, (R)ight = (D)roite,
le « 2 » signifie 180°.

Méthode de résolution

Une des méthodes les plus simples se décompose en 2 étapes :

(URF)->(BFR)=RUR'U' — (URF)->(DFR)=RUR'U'

Finir le Bas

On commence par ranger les sommets-Bas

On va ranger les sommets-Bas dans l'ordre suivant: (DFR), (DRB), (DBL) et (DLF) :

1. Choisissez un sommet-Bas (jaune) , placez le en (URF), puis descendez le en (DFR)

a) Descendre: (URF)->(DFR) = RUR'U'

Si le sommet (BFR) n'est pas bien orienté, on l'oriente tout de suite par la formule

b) Pivoter dans le sens horaire: (DFR)+ = (RUR'U')²

2. Tourner le Cube entier suivant U, on cherche alors le sommet qui a les couleurs Bas et Avant

3. Revenez au point 1

Remarque: si le sommet cherché est en Bas on le remonte avec RUR'U' .

Finir le Haut

On commence par placer les sommets, puis on les oriente

(URF)<->(UBR) = RUR'U' F'U'F

(UFL)+(ULB)- = (RUR'U')² .L' (URU'R')² L

Echanger deux sommets :