Produit intérieur

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En géométrie différentielle, le produit intérieur est une opération élémentaire sur les formes différentielles, que l'on construit à partir d'un champ de vecteurs.

Plus précisément, si ${\displaystyle X}$ est un champ de vecteurs sur une variété différentielle ${\displaystyle M}$ et si ${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$ désigne l'ensemble des formes différentielles de degré ${\displaystyle p}$ sur ${\displaystyle M}$ alors le produit intérieur par ${\displaystyle X}$ est l'opérateur

${\displaystyle \iota _{X}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}$

défini par : pour tous champs de vecteurs ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{p-1}}$ sur ${\displaystyle M}$,

${\displaystyle (\iota _{X}\omega )(Y_{1},\dots ,Y_{p-1})=\omega (X,Y_{1},\dots ,Y_{p-1})}$.

C'est une antidérivation de l'algèbre extérieure, i.e., si α est une p-forme et β une forme de degré quelconque :

${\displaystyle \iota _{X}(\alpha \wedge \beta )=\iota _{X}\alpha \wedge \beta +(-1)^{p}\alpha \wedge \iota _{X}\beta }$.

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