Théorème de Hamilton

Démonstration — Soient I_A, I_B, I_C les milieux respectifs de [BC], [AC], [AB]. Soient H_A, H_B, H_C les pieds des hauteurs issues respectivement de A, B, C. Soient J_A, J_B, J_C les milieux respectifs de [HA], [HB], [HC].

On sait que le cercle d'Euler du triangle ABC passe par ces neuf points. Pour montrer le résultat, il suffit de considérer un à un les triangles intérieurs et vérifier que leurs cercles d'Euler passent par les mêmes points.

Dans le cas du triangle ABH, il apparait que C est son orthocentre, les pieds de ses hauteurs sont H_A, H_B, H_C, les milieux de ses segments sont J_A, J_B, I_C et les milieux des segments liant ses sommets à son orthocentre sont I_A, I_B, J_C. Les triangles ABC et ABH ont donc bien le même cercle d'Euler.

On conclut en raisonnant de façon similaire sur BCH et CAH.