Théorème des deux lunules

En mathématiques et plus particulièrement en géométrie, le théorème des deux lunules énonce une relation entre l'aire d'un triangle rectangle et de deux lunules qui lui sont associées.

Ce théorème, très ancien, a été démontré par Hippocrate de Chios (–470 - –410)^[1], qui étudia aussi la duplication du cube, c'est-à-dire le calcul de la racine cubique de 2. Les deux lunules sont aussi appelées lunules d'Hippocrate. Il recherchait alors la quadrature du cercle et pensait que la quadrature de ses lunules allait le rapprocher du but^[2].

Une lunule est une portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un ménisque ressemblant à un croissant de lune : convexe d'un côté et concave de l'autre.

Soit le triangle ABC rectangle en B et ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ le cercle circonscrit à ABC (de diamètre AC).

La lunule ${\displaystyle L_{BC}}$ est la figure formée par le demi-disque de diamètre BC extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

La lunule ${\displaystyle L_{BA}}$ est la figure formée par le demi-disque de diamètre BA extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Alors la somme des aires de ${\displaystyle L_{BC}}$ et de ${\displaystyle L_{BA}}$ (en bleu sur la figure) est égale à l'aire du triangle ABC (en vert).

Soit un triangle ABC rectangle en B.

Les deux petites parties blanches représentent ce qui reste du demi-disque de diamètre AC quand on le prive du triangle ABC. La somme de leurs aires est donc ${\displaystyle {\text{Aire}}(AC)-{\text{Aire}}(ABC).}$

Les deux lunules sont les deux demi-disques de diamètre AB et BC privés de ces parties blanches. La somme de leurs aires est donc

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Aire}}(L_{BC})+{\text{Aire}}(L_{BA})&={\text{Aire}}(AB)+{\text{Aire}}(BC)-\left[{\text{Aire}}(AC)-{\text{Aire}}(ABC)\right]\\&=\left[{\text{Aire}}(AB)+{\text{Aire}}(BC)-{\text{Aire}}(AC)\right]+{\text{Aire}}(ABC).\end{aligned}}}$

Pour montrer le théorème, il suffit donc de montrer que ${\displaystyle {\text{Aire}}(AB)+{\text{Aire}}(BC)-{\text{Aire}}(AC)=0}$, c'est-à-dire que la somme des aires des deux demi-disques de diamètre AB et BC est égale à l'aire du demi-disque de diamètre AC.

Or le théorème de Pythagore nous dit que

${\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}.\,}$

Donc en multipliant par ${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$ on a

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {AC}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {AB}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {BC}{2}}\right)^{2},}$

ce qui est l'égalité des aires recherchée.

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