En mathématiques élémentaires, le triangle de Rascal est un tableau triangulaire de nombres analogue au triangle de Pascal, dont les quatre premières lignes sont identiques à celles de ce dernier, mais dont la construction diffère.

Présenté sous forme pyramidale, le triangle présente des "1" sur les côtés, et chaque terme intérieur est défini à partir des termes ${\displaystyle a,b}$ voisins de la ligne précédente et du terme ${\displaystyle c}$ de la ligne antéprécédente situé au dessus, par la formule ${\displaystyle (ab+1)/c}$.

Ce triangle forme la suite A077028 de l'OEIS.

Notant, pour ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant n}$, ${\displaystyle R(n,k)}$ le terme de la ligne d'indice ${\displaystyle n}$ et de la colonne d'indice ${\displaystyle k}$, la définition par récurrence s'écrit :

${\displaystyle R(n,0)=R(n,n)=1}$, ${\displaystyle R(n,k)={\frac {R(n-1,k-1).R(n-1,k)+1}{R(n-2,k-1)}}}$ pour ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n-1}$.

D'où la construction :↵${\displaystyle {\begin{array}{cc|cccccc}&k&0&1&2&3&4&5\\n&&\\\hline 0&&1\\1&&1&1\\2&&1&2&1\\3&&1&3&3&1\\4&&1&4&5&4&1\\5&&1&5&7&7&5&1\end{array}}}$

On a pour ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant n}$, ${\displaystyle R(n,k)=k(n-k)+1}$, ce qui prouve que ${\displaystyle R(n,k)}$ est entier, ainsi que la formule de symétrie, ${\displaystyle R(n,k)=R(n,n-k)}$.

Autrement formulé, pour ${\displaystyle 0\leqslant i,j}$, on a : ${\displaystyle R(i+j,i)=R(i+j,j)=ij+1}$.

Ceci vient de la relation : ${\displaystyle ((i-1)j+1)(i(j-1)+1)+1=(ij+1)((i-1)(j-1)+1)}$.

Le triangle de Rascal sous forme pyramidale n'est donc autre que la table de multiplication dont tous les termes ont été augmentés de 1, et tournée de 45° :

${\displaystyle {\begin{array}{cc|cccccc}&j&0&1&2&3&4&5\\i&&\\\hline 0&&1&1&1&1&1&1\\1&&1&2&3&4&5&6\\2&&1&3&5&7&9&11\\3&&1&4&7&10&13&16\\4&&1&5&9&13&17&21\\5&&1&6&11&10&21&26\end{array}}}$

La somme des termes de la ligne d'indice ${\displaystyle n}$ est égale à un nombre gâteau : ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}R(n,k)=\sum _{k=0}^{n}(k(n-k)+1)={\frac {(n+1)(n^{2}-n+6)}{6}}}$ ; les quatre premiers termes sont les quatre premières puissances de 2.

La somme alternée d'une ligne est évidemment nulle pour ${\displaystyle n}$ impair pour raison de symétrie, mais pour ${\displaystyle n}$ pair, on a : ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}R(n,k)=-{\frac {n-2}{2}}}$.

Ce triangle a été trouvé et nommé par des collégiens en 2010 à la suite de la question de leur professeur de poursuivre les quatre premières lignes du triangle de Pascal, qu'ils ont poursuivi avec la formule ci-dessus, et non la relation de Pascal classique^[1].

Il avait déjà été proposé par Clark Kimberling en 2002 dans l'OEIS.

• (en) Eric W. Weisstein, « Rascal Triangle », sur MathWorld.

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