1 A felnőtt klubokban játszott mérkőzések és gólok csak a bajnoki mérkőzések adatait tartalmazzák. Utolsó elszámolt mérkőzés dátuma: 2024. december 15.
Kinský 2020. július 14-én mutatkozott be a Dukla Praha felnőtt csapatában, 17 évesen. Csapata 2–1-re megverte a Třinec-t a bajnokságban. A cseh kupában augusztus 26-án játszott először, kapott gól nélkül lehozva az Admira Praha elleni találkozót.[2]
Slavia Praha
201 júliusában leszerződtette a Slavia Praha, négy éves szerződést írt alá.[3] Generációja legjobb cseh kapustehetségének tekintették.[1][4]
2022 és 2024 között Kinský kölcsönben játszott a Vyškov, illetve a Pardubice csapatainál.[4] A cseh másodosztályban 2023. július 22-én mutatkozott be, a Bohemians 1905 elleni 1–0-ás vereség során.[5] A Pardubice második bajnokiján a szezonban kiállították, majd eltiltották négy mérkőzésre, amit követően további mérkőzéseket kellett kihagynia sérülés miatt. 2023 decemberében lépett újra pályára, a Sparta Praha ellen, majd később a Slovan Liberec ellen először nem kapott gólt a szezonban.[6] Az évad első felében csak négyszer játszott, amit követően viszont 14 lehetőséget kapott májusig.
A 2023–2024-es szezon után eleinte úgy döntött, hogy nem hosszabbít a Slaviával,[7] de miután Jindřich Staněk, a csapat első számú kapusa megsérült, úgy döntött, marad.[8][9] Első kilenc bajnokiján a szezonban mindössze egy gólt kapott.[10]
