Hooke-törvény

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A Hooke-törvény közelítő törvény, mely kimondja, hogy egy rugalmas test alakváltozása arányos azzal az erővel, mely az alakváltozást okozza.

Azokat az anyagokat, melyek a Hooke-törvényt követik, lineáris-rugalmas, vagy Hooke-anyagoknak nevezik.

A törvényt a 17. században élt fizikusról, Robert Hooke-ról nevezték el.

Azokban a rendszerekben, melyek a Hooke-törvényt követik, a megnyúlás egyenesen arányos a terheléssel:

${\displaystyle {\overrightarrow {F}}=-k{\overrightarrow {x}}\ }$

ahol

x a megnyúlás [általában méter (m)],

F a rugóerő [általában newton (N)], és

k a rugó merevsége. A rugómerevség dimenziója erő/hossz, mértékegysége a newton/méter (N/m).

F_rugó= -D·Δx

Ha ez az egyenlőség fennáll, azt mondjuk, hogy a rugó lineáris rugó. Az összenyomódás-erő diagramban az ilyen rugó görbéje egyenes lesz.

Sok anyag követi a Hooke-törvényt. Ha egy ilyen anyagból készült kis rudat vizsgálunk, azt kisméretű lineáris rugónak foghatjuk fel. Megnyúlása, (fajlagos nyúlása) egyenesen arányos a benne ébredő σ mechanikai feszültséggel, az arányossági tényező pedig az E rugalmassági modulus reciproka:

${\displaystyle \sigma =E\cdot \varepsilon }$

vagy

${\displaystyle \Delta L={\frac {1}{E}}\times F\times {\frac {L}{A}}={\frac {1}{E}}\times L\times \sigma .}$

A Hooke-törvény csak bizonyos anyagokra és bizonyos terhelési feltételek mellett érvényes. Az acél lineáris-rugalmas anyagként viselkedik a legtöbb mérnöki alkalmazás szempontjából: a Hooke-törvényt követi a rugalmassági tartományban (vagyis a folyáshatárnál kisebb feszültségeken). Néhány más anyagnál, például alumínium esetében a Hooke-törvény a rugalmas tartomány egy részében teljesül. Ezeknél az anyagoknál rugalmassági határt állapítanak meg, mely alatt a lineáris közelítéstől való eltérés elhanyagolható.

A gumit a Hooke-törvényt nem követő anyagok közé sorolják, mivel rugalmassági modulusa a terheléstől és a hőmérséklettől is függ, valamint állandó terhelés alatt is változik a megnyúlása (kúszás).

A Hooke-törvény leggyakrabban előforduló alakja valószínűleg a rugóegyenlet, mely a rugóban ébredő erő és a rugó összenyomódása közti összefüggést fejezi ki:

${\displaystyle F=-kx\,}$

ahol k a rugómerevség, dimenziója erő/hosszúság [N/m]

A negatív előjel arra utal, hogy a rugóban ébredő erő és az elmozdulás ellenkező irányúak. Ezt az erőt visszatérítő erőnek hívják, mivel igyekszik a rugót egyensúlyi helyzetébe visszatéríteni.

A rugóban felhalmozott potenciális energia:

${\displaystyle U={1 \over 2}kx^{2}}$

A rugóban tárolt energia fenti egyenletét a rugó összenyomásakor végzett munkából lehet kiszámítani, ami az erőnek az elmozdulás szerinti integrálja. (A rugó potenciális energiája mindig pozitív.)

A potenciális energia az U-x síkon olyan parabolaként ábrázolható, melynek csúcspontja az origóban van, tengelye pedig az Y tengely. A rugó kihúzásakor a potenciális energia nő, de ugyanígy a rugó húzásakor is nő az energia. Bármilyen erővel hatunk a rugóra, a hozzá tartozó potenciális energia nagyobb, mint az x=0 ponthoz tartozó egyensúlyi állapoté, ezért a rugó törekszik visszatérni a legkisebb potenciális energiájú pontba, ugyanúgy, ahogy egy hullámos felületen a golyó a legmélyebb gödörbe törekszik.

Ha egy tömeget erősítünk a rugó végére és a rendszert kitérítjük egyensúlyi helyzetéből, lengésbe jön, és sajátlengései szögsebessége:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {k \over m}}}$ radián/másodperc (szögsebesség)

vagy

${\displaystyle \nu ={1 \over 2\pi }{\sqrt {k \over m}}}$ hertz (1/s)

mivel

${\displaystyle \omega ={\nu 2\pi }}$

Térbeli feszültségi állapot esetén egy (c_ijkl) negyedrendű, 81 elemet tartalmazó tenzort kell definiálnunk az (ε_kl) alakváltozási tenzor (vagy Green tenzor) és a (σ_ij) feszültségtenzor közötti összefüggés leírására.

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{kl}c_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl}}$

Tekintettel a feszültségtenzor, az alakváltozási tenzor és a merevségi tenzor szimmetriájára, csak 21 együttható független.

Mivel a feszültség nyomás dimenziójú, az alakváltozás pedig dimenzió nélküli elemekből áll, a c_ijkl elemek szintén nyomás dimenziójúak.

Izotróp anyagoknak nevezik azokat az anyagokat, melyek tulajdonságai függetlenek a térbeli irányoktól. Ennélfogva az izotróp anyagokra vonatkozó fizikai egyenleteknek függetleneknek kell lenniük a választott koordináta-rendszertől. Az alakváltozási tenzor szimmetrikus tenzor. Mivel a tenzor nyoma független a koordináta-rendszertől, ezért a szimmetrikus tenzor koordináta-független teljes dekompozíciója egy állandó tenzor és egy nyom nélküli szimmetrikus tenzor összege. Így:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}$

ahol ${\displaystyle \delta _{ij}}$ a Kronecker-delta-függvény. Az első kifejezés a jobb oldalon az állandó tenzor, melyet nyomásnak neveznek, a másik kifejezés pedig a nyom nélküli szimmetrikus tenzor, más néven a nyírási tenzor.

A Hooke-törvény legáltalánosabb alakja izotróp anyagokra ezért e két tenzor lineáris kombinációjaként írható:

${\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,}$

ahol K az rugalmassági modulus és G a nyírási rugalmassági modulus.

Felhasználva a rugalmassági modulusok közötti összefüggéseket, az egyenletek számos különböző módon írhatók fel. Például az alakváltozás kifejezhető a feszültségtenzor elemeinek segítségével:

${\displaystyle \varepsilon _{11}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right)}$

${\displaystyle \varepsilon _{22}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right)}$

${\displaystyle \varepsilon _{33}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right)}$

${\displaystyle \varepsilon _{12}={\frac {\sigma _{12}}{2G}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{13}={\frac {\sigma _{13}}{2G}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{23}={\frac {\sigma _{23}}{2G}}}$

ahol E a rugalmassági modulus (vagy Young-modulus) és a ${\displaystyle \nu }$ a Poisson-tényező.

Átszámítási képletek (nyitható táblázat)
Homogén izotróp tulajdonságú anyagok tulajdonságai kiszámíthatóak, ha legalább két másik tulajdonságuk ismert
	${\displaystyle (\lambda ,\,G)}$	${\displaystyle (E,\,G)}$	${\displaystyle (K,\,\lambda )}$	${\displaystyle (K,\,G)}$	${\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}$	${\displaystyle (G,\,\nu )}$	${\displaystyle (E,\,\nu )}$	${\displaystyle (K,\,\nu )}$	${\displaystyle (K,\,E)}$	${\displaystyle (M,\,G)}$
${\displaystyle K=\,}$	${\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$			${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}$			${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$
${\displaystyle E=\,}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu )\,}$		${\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}$		${\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}$
${\displaystyle \lambda =\,}$		${\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}$		${\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}$		${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle M-2G\,}$
${\displaystyle G=\,}$			${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$
${\displaystyle \nu =\,}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$					${\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$
${\displaystyle M=\,}$	${\displaystyle \lambda +2G\,}$	${\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}$	${\displaystyle 3K-2\lambda \,}$	${\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$

A zéró hosszúságú rugó az állandó erejű rugó helytelen megnevezése. A Hooke-törvény bizonyos speciális fizikai feltételek esetén nem alkalmazható. A zéró hosszúságú rugót 1932-ben Lucien LaCoste találta fel. A zéró hosszúságú rugó fizikai hossza megegyezik kinyújtott hosszával, rugóereje arányos teljes hosszúságával, nem csak a kinyújtás hosszával, emiatt rugóereje a rugó teljes elasztikus tartományán belül állandó (vagyis nem követi a Hooke-törvényt).

Elméletileg egy végtelen tömegű inga, melynek visszatérítő erejét ilyen rugó (illetőleg csaknem bármilyen rugó) biztosítja, végtelen természetes periódusidejű lehet. A szeizmométerekbe épített hosszú periódusidejű ingák képesek távoli földrengések leglassabban haladó, legáthatolóbb hullámainak észlelésére. Zéró hosszúságú rugót alkalmaznak a nehézségi gyorsulás anomáliáinak mérésére szolgáló graviméterekben is. Egyes ajtókat szintén zéró hosszúságú rugó működtet a becsapódás elkerülése érdekében. A zéró hosszúságú rugók egyes autófelfüggesztések esetében simább működést eredményeznek.

• Rugó

• Zéró hosszúságú rugók szeizmométerekben
• Magyarított Flash animáció a Hook-törvényről Szerző: David M. Harrison