Riemann-integrál

A matematikai analízisben az érintőprobléma mellett a másik jelentős témakör a kvadratúra problémája, vagyis a függvénygörbe alatti terület meghatározása, azaz az integrálás (régen: egészelés).

Szemléletesen az integrálás feladata azt meghatározni, hogy adott [a,b] zárt intervallumon értelmezett, pozitív értékeket felvevő függvény esetén mekkora területű síktartományt határol a függvény görbéje, az x tengely, valamint az x = a és az x = b egyenes. Valójában ez a másik irányban igaz: Az integrálás segítségével definiálható az említett görbével határolt terület nagysága.

Folytonos függvények integráljára először Cauchy adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. Riemann kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a definíciónak megfelelnek, Riemann-integrálhatónak nevezzük.

Az integrál jellemzői az integrálandó f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsó határának, a b-t az integrál felső határának nevezzük.

Osszuk fel az intervallumot n részre valamilyen ${\displaystyle F_{n}=\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$ halmazzal, ahol ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b}$. Ezt az F_n halmazt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen: ${\displaystyle d(F_{n})}$

Mindegyik [x_i-1, x_i] részintervallumból (1 ≤ i ≤ n) válasszunk ki tetszőlegesen egy ξ_i elemet.

Állítsunk f(ξ_i) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit közelítő összegnek nevezünk:

${\displaystyle \sigma (F_{n})=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})}$

Ezt a ${\displaystyle \Delta x_{i}=(x_{i}-x_{i-1})}$ jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:

${\displaystyle \sigma (F_{n})=\sum _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}=f(\xi _{1})\Delta x_{1}+f(\xi _{2})\Delta x_{2}+\,\cdots \,+f(\xi _{n})\Delta x_{n}}$

A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: ${\displaystyle \{F_{n}\}=F_{1},F_{2},F_{3},F_{4},\ldots }$. Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a ${\displaystyle \{d(F_{n})\}=d(F_{1}),d(F_{2}),\ldots }$ sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.

Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon, és a határértékét a függvény Riemann-integráljának nevezzük. Jele: ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$ vagy röviden: ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f}$.

${\displaystyle d(F_{n})\to 0\Rightarrow \sigma (F_{n})\to \int \limits _{a}^{b}f}$

Összefoglalva:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\cdot (x_{i}-x_{i-1})}$

ahol

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b}$

${\displaystyle x_{i-1}\leq \xi _{i}\leq x_{i}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max \left\{x_{i}-x_{i-1}|1\leq i\leq n\right\}=0}$

Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.

Ha a ${\displaystyle \sigma _{n}}$ összegben az ${\displaystyle f(\xi _{i})}$ helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez jutunk: ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}(x_{i}-x_{i-1})}}$, ahol ${\displaystyle M_{i}}$ a függvény felső határa (supremuma) az ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ intervallumon.

Hasonló a (Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg definíciója is: ${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}}$, ahol ${\displaystyle m_{i}}$ az függvény alsó határa (infimuma) az ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ intervallumon.

A Darboux-féle integrálközelítő összegekkel definiálhatjuk minden korlátos függvény Darboux-integráljait. Az alsó integrálközelítő összegek szuprémuma az alsó Darboux-integrál:

${\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}=\sup \limits _{a=x_{1}<\ldots <x_{n}=b}\,\sum _{i=1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1}})}$,

és a felső integrálközelítő összegek infimuma a felső Darboux-integrál:

${\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}=\inf \limits _{a=x_{1}<\ldots <x_{n}=b}\,\sum _{i=1}^{n}{M_{i}(x_{i}-x_{i-1}})}$.

Egy adott intervallumon korlátos függvénynek mindig léteznek a Darboux-integráljai. Egy ilyen függvény akkor és csak akkor integrálható Riemann-féle értelemben, ha az alsó és felső Darboux-integráljaik megegyeznek.

Az elvárásainknak megfelelően, ha egy függvény folytonos egy korlátos intervallumon, akkor ugyanott Riemann-integrálható is.

Ha ${\displaystyle f}$ Riemann-integrálható ${\displaystyle [a,b]}$-n, és

${\displaystyle F(t)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt}$,

akkor ${\displaystyle F}$ folytonos ${\displaystyle [a,b]}$-n.

Ha ${\displaystyle f,g}$ az ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon Riemann-integrálható függvények, ${\displaystyle c}$ valós konstans, akkor ${\displaystyle f\pm g}$ és ${\displaystyle cf}$ is integrálható ugyanott, és teljesülnek a következők:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\pm g(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\pm \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Ha ${\displaystyle f}$ Riemann-integrálható ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon, akkor

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx}$

Legyen ${\displaystyle a<b<c}$. Ha ${\displaystyle f}$ Riemann-integrálható ${\displaystyle [a,c]}$ intervallumon, akkor Riemann-integrálható ${\displaystyle [a,b]}$ és ${\displaystyle [b,c]}$ intervallumokon is, valamint:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{a}f(x)\,dx=0}$

Ha ${\displaystyle f}$ az ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon Riemann-integrálható függvény, akkor ${\displaystyle |f|}$ is az, és teljesül a következő:

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx}$

Ha ${\displaystyle f,g}$ az ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon integrálhatóak a Riemann-féle értelemben, akkor a négyzeteik és a szorzatuk is, és fennáll a következő egyenlőtlenség:

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\right|\leq {\sqrt {\int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}}{\sqrt {\int _{a}^{b}g^{2}(x)\,dx}}}$

A határozott integrál és a primitív függvény kapcsolatát tárja fel az Isaac Barrow által felfedezett Newton–Leibniz-formula:

Ha ${\displaystyle [a,b]}$-n ${\displaystyle F'=f}$, akkor

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx={\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}=F(b)-F(a)}$

Ezt a formulát Riemann-integrál kielégíti, így a Riemann-integrál megfelel a határozott integrál fogalmáról a XVII. században kialakult intuitív képünknek.

Emellett teljesül a tétel megfordítása is. Ha ${\displaystyle f}$ Riemann-integrálható ${\displaystyle [a,b]}$-n, és ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ (azaz ${\displaystyle F}$ határozatlan integrálja f-nek), akkor ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$, az intervallum minden ${\displaystyle x}$ pontjára.

A Newton-Leibniz formulából már könnyen adódik a parciális integrálás képlete:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,dx={\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\,dx}$

Legyen ${\displaystyle x=\varphi (t)}$, ahol ${\displaystyle \varphi }$ folytonosan differenciálható, és ${\displaystyle f}$ folytonos ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \varphi }$ általi képén. Ekkor

${\displaystyle \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi '(t)\,dt}$

Egy ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon értelmezett függvény pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos és ${\displaystyle [a,b]}$ majdnem minden pontjában folytonos (tehát a szakadási pontok halmaza a Lebesgue-mérték szerint nullmértékű).

Bár a Riemann-integrál a leggyakrabban használt integrál, van sok egyéb integrálfogalom:

• Banach-integrál
• Burkill-integrál
• Daniell-integrál
• Darboux-integrál, a Riemann-integrál egy variációja
• Denjoy-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása
• Dirichlet-integrál
• Euler-integrál
• Fejér-integrál
• Haar-integrál
• Henstock–Kurzweil-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása (HK-integrál, valamint Kurzweil-Henstock-integrál néven is)
• Henstock–Kurzweil–Stieltjes integrál (HK-Stieltjes-integrál néven is)
• Itô-integrál
• Itô–Stieltjes-integrál
• Lebesgue-integrál
• Lebesgue–Stieltjes-integrál (Lebesgue–Radon-integrál néven is)
• mérték szerinti integrál, az integrálfogalom legfontosabb mértékelméleti általánosítása
• Perron-integrál, ami ekvivalens a tiltott Denjoy-integrállal
• Poisson-integrál
• Radon-integrál
• Stieltjes-integrál, a Riemann-integrál kiterjesztése (Riemann–Stieltjes-integrálnak is nevezik)
• sztochasztikus integrál
• Wiener-integrál
• Young-féle integrál

• Magyarított Flash animáció a Riemann-integrál szemléltetéséről általában plusz egy konkrét függvénnyel. Szerző: David M. Harrison

• Durszt E. (1995): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged.
• Imreh Cs. (1997): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o.
• Leindler L. (1995): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged.
• Medvegyev P. (2004): Sztochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
• Mikolás M. (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.