Albero ricoprente

Grafo con evidenziato un Albero spanning — Grafo con evidenziato un **Albero spanning**

Un albero ricoprente (anche detto di copertura, di connessione o di supporto) di un grafo, connesso e con archi non orientati, è un albero che contiene tutti i vertici del grafo e contiene soltanto un sottoinsieme degli archi, cioè solo quelli necessari per connettere tra loro tutti i vertici con uno e un solo cammino. Infatti ciò che differenzia un grafo da un albero è che in quest'ultimo non sono presenti cammini multipli tra due nodi, nell'immagine sono mostrati in grassetto gli archi che fanno parte di un albero ricoprente mentre gli archi del grafo originario erano tutti gli archi, sia quelli in grassetto sia quelli sottili.

L'albero ricoprente è anche noto con il termine inglese spanning tree (ST).

Definizione formale

Un albero è un particolare tipo di grafo non orientato all'interno del quale non possono esistere percorsi chiusi (grafo aciclico) e per ogni coppia di nodi esiste un unico collegamento che li congiunge (grafo connesso).

Proprietà

Seguono alcune delle proprietà principali di un albero ricoprente.^[1]

Possiede $n-1$ archi, dove $n$ è il numero dei vertici.
Possiede un numero di archi minimale per la proprietà di connessione: rimuovendo un arco qualsiasi, il grafo non è più connesso.
Possiede un numero di archi massimale per la proprietà di aciclicità: aggiungendo un arco fra due vertici qualsiasi, il grafo non è più aciclico.
All'interno dell'albero esiste un unico cammino semplice fra due nodi.

Albero ricoprente minimo

Nel caso in cui gli archi siano pesati si può definire anche l'albero ricoprente minimo, o minimum spanning tree (MST). Un MST non è altro che un albero ricoprente nel quale sommando i pesi degli archi si ottiene il valore minimo tra tutti i possibili alberi.

Applicazioni

Il concetto di albero ricoprente viene utilizzato nelle reti locali, vedi anche Spanning tree (networking).

Note

^ (EN) Kevin Wayne, Greedy Algorithms II (PDF), su cs.princeton.edu, Università di Princeton, Dipartimento di Informatica, 18 febbraio 2013. URL consultato il 13 settembre 2016 (archiviato il 13 settembre 2016).