Fornisce la base concettuale e metodologica per lo sviluppo del modello di un qualsiasi sistema continuo riguardante per esempio fenomeni e processi fisici, astronomici, tecnologici, economici e statistici. La conoscenza del calcolo infinitesimale costituisce quindi un bagaglio culturale di primaria importanza e, sul piano storico, il suo sviluppo può a buon diritto considerarsi uno dei processi fondamentali per la storia del pensiero scientifico e, più in generale, per la storia della filosofia occidentale. È significativo a questo proposito osservare che nella lingua inglese, in cui più si è sviluppato in partenza, il calcolo infinitesimale viene chiamato per antonomasiacalculus.
Con il successivo progressivo decadimento della scienza nell'area mediterranea, occorre attendere l'opera dei matematici indiani Aryabhata (476-550), Bhāskara (1114-1185), Madhava (1350-1425) e della scuola del Kerala per avere innovazioni come il teorema noto come teorema di Rolle, il passaggio al limite per una variabile tendente all'infinito e la manipolazione di alcune serie.
Per uno sviluppo sistematico del calcolo infinitesimale occorre attendere il periodo del recupero europeo dello spirito scientifico ellenistico nel secolo XVI (Tartaglia) e soprattutto nel secolo XVII. Dopo gli avanzamenti dovuti a Cavalieri, Barrow, Cartesio, Fermat, Huygens e Wallis, negli anni dal 1670 al 1710, ad opera principalmente di Pietro Mengoli, Newton e Leibniz furono posti i fondamenti del calcolo infinitesimale moderno e fu raggiunta la piena consapevolezza della sua portata per lo sviluppo di metodi e modelli per lo studio quantitativo degli oggetti dell'indagine scientifica. Nel secolo XVIII si assiste all'ampliamento dei metodi e delle applicazioni, con i Bernoulli, Eulero, Lagrange, Laplace, pur nella mancanza di fondamenti rigorosi. Una prima revisione critica dei fondamenti fu sviluppata da Cauchy intorno al 1821 sulla base della nozione di limite introdotta da d'Alembert nel 1765. In Giappone fu invece Kōwa Seki che per primo sviluppò i metodi fondamentali del calcolo integrale.
Intorno al 1860Dedekind precisa la nozione di numero reale (altro recupero di una nozione ellenistica, ben chiara negli Elementi di Euclide). Questa consente che, intorno al 1870, sia precisata la definizione delle basi del calcolo infinitesimale per opera di Weierstrass e di vari altri matematici (Eduard Heine, Georg Cantor, Charles Méray, Camille Jordan...). Da allora le idee e le tecniche di calcolo infinitesimale - diventate analisi matematica o “analisi standard”, evitando di fare riferimento al concetto oscuro di infinitesimo - sono bagaglio essenziale per chi si dedica alla scienza e alla tecnologia.
XX secolo
All'inizio del XX secolo sono sviluppate teorie che forniscono basi (o “fondamenti”) più generali, astratte ed efficaci per lo studio dei problemi infinitesimali. Basti ricordare la teoria assiomatica degli insiemi (scuola di Hilbert), la teoria della misura (Lebesgue), la nozione di spazio di Hilbert, la nozione di spazio normato e quindi la definizione dell'analisi funzionale principalmente per opera di Banach. Infine Robinson tentò di rifondare l'analisi sugli infinitesimi, recuperando su basi logiche più rigorose la semplicità del metodo di Leibniz introducendo l'analisi non standard.
W.W. Sawyer, Che cos'è il calcolo infinitesimale, Zanichelli, Bologna, 1976
René Guénon, Les Principes du calcul infinitésimal, Gallimard, 1946 ; tr. it. di Pietro Gori, I princìpi del calcolo infinitesimale, Milano, Adelphi, 2011
