Cuspide (poliedro)

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In geometria, la cuspide di un poliedro indica la struttura locale del poliedro vicino ad un vertice. Più in generale, è possibile definire una nozione di cuspide per un vertice di un qualsiasi politopo a dimensione arbitraria (e quindi anche per un poligono). In italiano è spesso usata anche la versione inglese star.

La valenza di un vertice di un poliedro è il numero di spigoli (o facce) adiacenti.

In un politopo di dimensione ${\displaystyle n}$ arbitraria, ogni vertice ha ${\displaystyle n}$ valenze ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$: qui ${\displaystyle v_{i}}$ indica il numero di facce ${\displaystyle i}$-dimensionali adiacenti al vertice.

Poiché vi è un unico politopo adiacente al vertice, l'ultimo valore è sempre ${\displaystyle v_{n}=1}$.

In un poligono, le valenze sono sempre ${\displaystyle (v_{1},v_{2})=(2,1)}$. In un poliedro, sono ${\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3})=(v,v,1)}$, dove ${\displaystyle v}$ è la valenza definita inizialmente.

A proposito di ${\displaystyle v_{1}}$, affinché la dimensione sia ${\displaystyle n}$, ci devono essere almeno ${\displaystyle n}$ spigoli adiacenti a ciascun vertice, e quindi ${\displaystyle v_{1}\geq n}$.

La struttura locale del poliedro vicino ad un vertice è codificata dall'intersezione del poliedro con una piccola sfera centrata nel vertice. Spigoli e facce del poliedro intersecano questa sfera in un poligono con spigoli curvi, con numero di vertici (o spigoli) pari alla valenza.

Tale intersezione, definita per i vertici di un politopo di dimensione arbitraria, è la base della cuspide, detta anche link.

Analogamente si può definire una base "dritta" prendendo su ogni spigolo un punto che disti dal vertice una lunghezza fissata piccola; collegando questi punti tramite segmenti si ottiene un poligono vero e proprio. Se questo è regolare il vertice è un vertice regolare.

Ogni vertice di un poligono è adiacente a due spigoli, ed al poligono stesso. Quindi ${\displaystyle v_{1}=2}$ e ${\displaystyle v_{2}=1}$.

Nel quadrato, la base della cuspide di ciascuno dei quattro vertici è un arco nella circonferenza di ampiezza uguale a ${\displaystyle \pi /2}$ radianti (pari a 90°).

I solidi regolari hanno le stesse cuspidi ad ogni vertice (eventualmente ruotate nello spazio).

Nel cubo, vale ${\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3})=(3,3,1)}$.

Nell'ipercubo, vale ${\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})=(4,6,4,1)}$. La base della cuspide di ciascuno dei sedici vertici è un tetraedro sferico regolare.

In generale, in un cubo di dimensione ${\displaystyle n}$, il valore ${\displaystyle v_{i}}$ non dipende dal vertice ed è dato dal coefficiente binomiale

${\displaystyle v_{i}=\left({\begin{matrix}n\\i\end{matrix}}\right).}$

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