In matematica, la funzione di Cantor (a volte chiamata funzione di Cantor-Vitali, o scala del diavolo) è un esempio di funzione continua e crescente nonostante abbia derivata zero in quasi tutti i punti essendo costante in tutti i sottointervalli di [0,1] che non contengono punti dell'insieme di Cantor. Intuitivamente, è una scala con infiniti gradini, tutti di pendenza zero, ma ad altezze progressivamente crescenti, in modo che la pendenza media risulti comunque pari a 1.
La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di pendenza nulla, ma di altezza progressivamente crescente: questo disegno ne mostra una approssimazione.
La funzione di Cantor è definita nel modo seguente:
Scriviamo ogni numero x in [0, 1] in base tre. Con questa notazione, 1/3 si scrive come 0.13 e 2/3 si scrive come 0.23. Notiamo che alcuni numeri razionali possono avere due scritture diverse, ad esempio 1/3 si scrive anche come 0.0222...3 (questo fatto è vero anche in base 10: infatti 0.1 si scrive anche come 0.09999...). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra "1".
Sostituiamo la prima occorrenza della cifra "1" con un "2" e tutte le cifre successive con "0".
Sostituiamo tutte le cifre "2" con "1".
Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è f(x).
Ad esempio:
1/4 = 0.02020202...3 diventa 0.01010101...2 = 1/3. Quindi f(1/4)=(1/3).
1/5 = 0.01210121...3, al passo 2 diventa 0.02000000..., quindi 0.01000000...2 = 1/4. Quindi f(1/5)=1/4.
Come limite di una successione
La funzione si può anche definire come limite di una successione di funzioni definite in [0,1], costruite in questo modo:
Sia ;
Sia una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente lati: 2n lati sono obliqui di coefficiente angolare (3/2)n e 2n-1 lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza (1/3)n. Per ogni n∈N risulta fn(0)=0, fn(1)=1. In figura sono disegnate f0, f1 e f2.
Le prime tre funzioni della successione
Si può "costruire" la n+1-esima poligonale fn+1 come una trasformazione della fn: infatti, detti Ik(n), k=1, …, 2n e Jk(n), k=1, …, 2n-1 le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è f(Jk(n)) = {k/2n}), allora è fn+1 = fn in Jk(n) per ogni k, mentre ogni lato obliquo di fn (che ha come proiezione sull'asse delle ascisse l'intervallo Ik(n)) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I2k-1(n+1) e I2k(n+1), e uno orizzontale in corrispondenza all'intervallo J2k-1(n+1).
Si può provare che risulta:
.
Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in [0,1]. Dunque per n→∞ converge uniformemente ad una funzione limite, che è detta funzione di Cantor.
Proprietà
La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e suriettiva dall'intervallo [0, 1] in sé. È a variazione limitata ma non assolutamente continua. Non è derivabile in nessun punto dell'insieme di Cantor, mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una funzione costante in ogni sottointervallo di [0, 1] che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha misuranulla), ossia negli intervalli del tipo (0.x1x2x3...xn022222..., 0.x1x2x3...xn200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).
La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo
[0, 1]: questo implica che l'insieme di Cantor non è numerabile. Questa funzione è utile per definire una curva di Peano, cioè una curva che riempie totalmente un quadrato.
![{\displaystyle f:[0,1]\rightarrow [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2631190ce52422c0a3cbab528062e06d883f70e1)
![{\displaystyle \sup _{p\in \mathbb {N} \ }{\big \{}\max _{x\in [0,1]}\{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}{\big \}}\leq \ {\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15fc522c4d02933f6cb54ddfd3658b8abf48e290)
