In matematica, in particolare in algebra astratta, il gruppo di Grothendieck di un semigruppo commutativo è un gruppo, costruito in modo tale che sia "il più piccolo" gruppo che contiene . Prende nome dalla costruzione più generale introdotta da Alexander Grothendieck nella teoria delle categorie con i suoi lavori fondamentali nella metà del 1950 che portarono allo sviluppo della K-teoria.
Definizione
Costruzione esplicita
Sia un semigruppo commutativo. Nel prodotto cartesiano definiamo la relazione di equivalenza
- ;
definiamo inoltre l'operazione di somma per componenti
che è compatibile con .
Il gruppo di Grothendieck di è l'insieme quoziente ; il suo elemento neutro è la classe costituita dalle coppie , mentre l'inverso della classe è la classe .
Proprietà universale
Un modo alternativo per definire il gruppo di Grothendieck è mediante l'uso di una proprietà universale: dato un semigruppo , il Grothendieck è un gruppo (insieme con un monomorfismo di semigruppi tale che, per ogni omomorfismo (dove è un gruppo abeliano), esiste ed è unico un omomorfismo di gruppi tale che .
La proprietà universale esprime il fatto che, se un gruppo contiene un'immagine omomorfa di , allora conterrà anche un'immagine omomorfa di .
Questa costruzione è equivalente a quella esplicita: se è un altro gruppo che soddisfa questa condizione, allora esiste un isomorfismo naturale tra e .
In termini di teoria delle categorie, questa costruzione è il funtore aggiunto a sinistra del funtore tacito che associa ad ogni gruppo abeliano la sua struttura di semigruppo.
Esempi
- Se è un sottosemigruppo del semigruppo commutativo allora è un sottogruppo del gruppo commutativo .
- Se è un gruppo commutativo allora coincide con ; più precisamente, le mappe e sono isomorfismi tra e
- Se è il semigruppo commutativo dei numeri naturali allora è isomorfo al gruppo dei numeri interi .
- Se è il semigruppo commutativo degli interi diversi da zero allora .
Voci correlate
Collegamenti esterni