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Matrice ortogonale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice ortogonale è una matrice invertibile tale che la sua trasposta coincide con la sua inversa.

Nel campo complesso, una matrice invertibile la cui trasposta coniugata coincide con l'inversa è detta matrice unitaria.

Definizione

Data una matrice invertibile , indicando con la sua trasposta si definisce ortogonale se:

laddove è la matrice identità, ovvero la trasposta è l'inversa.

In modo equivalente, una matrice ortogonale è una matrice che rappresenta una isometria dello spazio euclideo, oppure è una matrice di cambiamento di base fra due basi ortonormali.

Si può ricavare che il numero di parametri indipendenti in una matrice ortogonale di dimensione è .

Proprietà

Basi ortonormali

Una matrice quadrata è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale dello spazio euclideo con l'ordinario prodotto scalare. Questa proprietà è semplicemente la rilettura della relazione .

Rileggendo similmente la relazione , si ricava l'enunciato duale del precedente: una matrice quadrata reale è ortogonale se e solo se le sue righe formano una base ortonormale di .

Isometrie

Geometricamente, le matrici ortogonali descrivono le trasformazioni lineari di che sono anche isometrie. Queste preservano il prodotto scalare dello spazio, e quindi gli angoli e le lunghezze. Ad esempio, le rotazioni e le riflessioni sono isometrie.

Viceversa, se è un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione finita dotato di un prodotto scalare definito positivo, e è un'applicazione lineare con:

per tutti gli elementi , di , allora è una isometria ed è rappresentata in ogni base ortonormale di da una matrice ortogonale.

In uno spazio euclideo di dimensione 2 e 3, ogni matrice ortogonale esprime una rotazione intorno ad un punto o un asse, o una riflessione, o una composizione di queste due trasformazioni.

Gruppo ortogonale

Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo ortogonale.

Dalla definizione segue subito che l'inversa di ogni matrice ortogonale, cioè la sua trasposta, è anch'essa ortogonale.

Analogamente, il prodotto di due matrici ortogonali è una matrice ortogonale. Infatti:

Questo dimostra che l'insieme delle matrici ortogonali forma un gruppo rispetto all'operazione "moltiplicazione tra matrici/composizione di funzioni lineari", il gruppo ortogonale, che è un gruppo di Lie e viene indicato con .

La sua dimensione è . Intuitivamente, la dimensione è calcolata nel modo seguente: gli numeri di una matrice ortogonale sono vincolati dalle uguaglianze della definizione, ciascuna delle quali è caratterizzata da una coppia di indici che vanno da 1 a , ma l'equazione relativa a con equivale a quella relativa a e quindi ci sono solo equazioni indipendenti, e quindi gradi di libertà.

Matrice ortogonale speciale

Il determinante di ogni matrice ortogonale è o . Questo si può dimostrare come segue:

Una matrice ortogonale con determinante positivo si dice matrice ortogonale speciale.

L'insieme di tutte le matrici ortogonali speciali formano un sottogruppo di di indice 2, chiamato gruppo ortogonale speciale e denotato .

Autovalori e decomposizioni

Autovalori

Tutti gli autovalori di una matrice ortogonale, anche quelli complessi, hanno valore assoluto . Autospazi relativi a differenti autovalori sono ortogonali tra loro.

Decomposizioni lungo piani

Data una matrice ortogonale , esiste una matrice ortogonale , tale che:

dove denotano matrici di rotazione . Intuitivamente, questo risultato dice che ogni matrice ortogonale descrive una combinazione di rotazioni e riflessioni su piani ortogonali. Le matrici corrispondono alle coppie di autovalori complessi coniugati di .

Decomposizione QR

Lo stesso argomento in dettaglio: Decomposizione QR.

Se è una arbitraria matrice di tipo di rango (cioè ), si può sempre scrivere:

dove è una matrice ortogonale di tipo e è una matrice triangolare superiore di tipo con valori positivi sulla diagonale principale. La decomposizione QR può essere dimostrata applicando l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt alle colonne di .

Questa decomposizione risulta utile per risolvere numericamente i sistemi di equazioni lineari e i problemi di minimi quadrati.

Matrici ortogonali e rappresentazione delle algebre di Clifford

Lo stesso argomento in dettaglio: Algebra di Clifford.

Alle matrici ortogonali si può attribuire un secondo significato geometrico che si collega alla rappresentazione matriciale delle algebre di Clifford. Ad esempio, i vettori della base canonica di sono e e un generico vettore di questo piano cartesiano si può scrivere:

La matrice ortogonale:

rappresenta la riflessione rispetto alla bisettrice , poiché scambia le due componenti di ogni vettore piano:

La matrice ortogonale:

rappresenta invece la riflessione rispetto all'asse , poiché il punto ha come immagine :

Per i due prodotti di queste matrici si trova:

Si tratta delle due rotazioni nel piano di e di , rotazioni opposte: quindi le due matrici anticommutano. In formule:

Si considerino ora ed come vettori di base del piano bidimensionale delle loro combinazioni lineari:

sfruttando la composizione:

si trova:

Per il quadrato di una di queste entità in particolare:

Si può quindi definire come prodotto interno di e la precedente composizione, a meno della matrice unità . Questo è lecito in quanto chiaramente si tratta di una forma bilineare simmetrica positiva. Il prodotto interno di una entità matriciale e vettoriale con sé stessa fornisce il quadrato della sua norma.

Dato che le entità base anticommutano si vede che:

Le entità ed sono ortogonali secondo entrambe le loro interpretazioni: sono matrici ortogonali e rappresentano vettori di base ortogonali in quanto matrici anticommutative.

Matrici ortogonali trigonometriche

Matrice ortogonale 2×2

Matrice ortogonale 3×3

Queste matrici sono anche matrici di rotazione di coordinate. Utilizzando le equazioni di rotazione di uno spazio n-dimensionale si possono costruire matrici ortogonali trigonometriche di dimensione .

Bibliografia

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Voci correlate

Collegamenti esterni

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