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数学 において、ヴィルヘルム・キリング (Wilhelm Killing) の名に因むキリング形式 (Killing form) とは、リー群 とリー環 の理論において基本的な役割を果たす対称双線型形式 である。
キリング形式は本質的に Élie Cartan (1894 )キリング形式 」という名前はアルマン・ボレル （英語版 ） カルタン形式 」と呼ぶのがより正しいだろうと認めている[ 1] ヴィルヘルム・キリング はリー代数の正則半単純元の特性方程式の係数が随伴群のもとで不変であることに気付いていて、そのことからキリング形式（すなわち2次の係数）が不変であることが従う。しかし彼はこの事実をそれほど利用しなかった。カルタンが利用した基本的な結果はカルタンの判定条件 （英語版 ） 単純リー環の直和 であることが同値であるというものである[ 1]
体 K 上のリー環 g g x g 随伴自己準同型 ad(x ) （adx とも書かれる）をリーブラケットを用いて
a
d
(
x
)
(
y
)
=
[
x
,
y
]
{\displaystyle \mathrm {ad} (x)(y)=[x,y]}
と定義する。今、g トレース は K に値を持つ対称双線型形式
B
(
x
,
y
)
=
t
r
a
c
e
(
a
d
(
x
)
a
d
(
y
)
)
{\displaystyle B(x,y)=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} (x)\mathrm {ad} (y))}
を定義する。これが g キリング形式 (Killing form) である
キリング形式 B
キリング形式は「結合」性
B
(
[
x
,
y
]
,
z
)
=
B
(
x
,
[
y
,
z
]
)
,
{\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z]),}
を持つという意味で不変形式である。ここで [ , ] はリーブラケット である。 g 単純リー環 であれば、g キリング形式はリー環 g 自己同型 s
B
(
s
(
x
)
,
s
(
y
)
)
=
B
(
x
,
y
)
{\displaystyle B(s(x),s(y))=B(x,y)}
が s ∈ Aut(g ) カルタンの判定条件 （英語版 ） 半単純 であることとキリング形式が非退化 であることが同値であるというものである。冪零リー環 のキリング形式は恒等的に 0 である。I , J g イデアル で交わりが 0 ならば、I J 直交 する部分空間である。イデアルの B [ 2]
与えられたリー代数 g I 1 ,...,In g
リー環 g ei
B
i
j
=
t
r
(
a
d
(
e
i
)
∘
a
d
(
e
j
)
)
/
I
a
d
{\displaystyle B^{ij}=\mathrm {tr} (\mathrm {ad} (e^{i})\circ \mathrm {ad} (e^{j}))/I_{ad}}
によって与えられる。ただし I ad g ディンキン指数 （英語版 ）
(
ad
(
e
i
)
∘
ad
(
e
j
)
)
(
e
k
)
=
[
e
i
,
[
e
j
,
e
k
]
]
=
[
e
i
,
c
j
k
m
e
m
]
=
c
i
m
n
c
j
k
m
e
n
{\displaystyle \left({\textrm {ad}}(e^{i})\circ {\textrm {ad}}(e^{j})\right)(e^{k})=[e^{i},[e^{j},e^{k}]]=[e^{i},{c^{jk}}_{m}e^{m}]={c^{im}}_{n}{c^{jk}}_{m}e^{n}}
がアインシュタインの縮約記法 を用いて成り立つ。ただし c ij k 構造係数 である。添え字 k ad(e i e j の列の添え字として、添え字 n k = n
B
i
j
=
1
I
a
d
c
i
m
n
c
j
n
m
{\displaystyle B^{ij}={\frac {1}{I_{ad}}}{c^{im}}_{n}{c^{jn}}_{m}}
と書くことができる。キリング形式は構造定数から構成できる最も単純な2階テンソル である。
上の添え字の付いた定義において、上と下の添え字（共変 と反変 の添え字）に注意する。多くの場合において、キリング形式は多様体上の計量テンソルとして使うことができ、このとき区別がテンソルの変換性質のために重要になるからである。リー環が標数 0 の体上の半単純リー環 であれば、キリング形式は非退化であり、したがって添え字を上げ下げするのに計量テンソル として使うことができる。この場合、すべての上の添え字の構造定数が完全反対称 となるような g
いくつかのリー環 g X , Y ∈ g
g B (X , Y )
gl (n , R )2n tr(XY ) − 2 tr(X )tr(Y )
sl (n , R )2n tr(XY )
su (n )2n tr(XY )
so (n , R )(n −2) tr(XY )
so (n )(n −2) tr(XY )
sp (2n , R )(2n +2) tr(XY )
sp (2n , C )(2n +2) tr(XY )
g 半単純リー環 とする。カルタンの判定条件 （英語版 ） シルヴェスターの慣性法則 によって、正の成分の個数は双線型形式の不変量である、すなわち、対角化する基底の取り方に依らない。その個数をリー環 g 指数 (index) と呼ぶ。これは 0 と g g 負定値 のときコンパクト (compact) と呼ばれる。リー対応 （英語版 ） コンパクトリー環 （英語版 ） コンパクトリー群 に対応することが知られている。
g C 複素化 （英語版 ） g C 実形 (real form) と呼ぶ。任意の複素半単純リー環には（同型の違いを除いて）一意的なコンパクト実形 g
例えば、複素特殊線型環 sl (2, C )sl (2, R )特殊ユニタリ環 su (2)split real form であり、そのキリング形式の符号は (2, 1) である。後者はコンパクト実形でありそのキリング形式は負定値である、すなわち符号 (0 ,3) を持つ。対応するリー群はそれぞれ、行列式が1の 2 × 2 実行列の非コンパクト群 SL(2, R ) と、コンパクトな特殊ユニタリ群 SU(2)
^ a b Borel, p. 5
^ Fulton, William ; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course , Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics, 129 , New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97495-8 , MR 1153249 , ISBN 978-0-387-97527-6
Borel, Armand (2001). Essays in the history of Lie groups and algebraic groups . History of Mathematics, Vol 21 . American Mathematical Society and the London Mathematical Society Daniel Bump, Lie Groups (2004), Graduate Texts In Mathematics, 225 , Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-21154-1
Cartan, Élie (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus , https://books.google.co.jp/books?id=JY8LAAAAYAAJ&redir_esc=y&hl=ja Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups , (1992) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
Fulton, William ; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course , Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics, 129 , New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97495-8 , MR 1153249 , ISBN 978-0-387-97527-6 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Killing form” , Encyclopedia of Mathematics ISBN 978-1-55608-010-4 , https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Killing_form
![{\displaystyle \mathrm {ad} (x)(y)=[x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8204cc31e6423c9b69d52633e769946d5527db9d)
![{\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z]),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315f488ecd22f9f9faf267cade62fcda3c1f11ad)
![{\displaystyle \left({\textrm {ad}}(e^{i})\circ {\textrm {ad}}(e^{j})\right)(e^{k})=[e^{i},[e^{j},e^{k}]]=[e^{i},{c^{jk}}_{m}e^{m}]={c^{im}}_{n}{c^{jk}}_{m}e^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9068b28d35009dde76431cedec171eae0ecb41)
