パウリ方程式

量子力学において、パウリ方程式（パウリほうていしき、英: Pauli equation）またはシュレーディンガー・パウリ方程式（英: Schrödinger–Pauli equation）はシュレーディンガー方程式をスピン1/2の粒子に対して形式化したもので、粒子のスピン角運動量と外部電磁場の相互作用が考慮に入れられている。これはディラック方程式の非相対論的極限であり、粒子が光速よりずっと遅く相対論的効果が無視できるときに適用できる。ヴォルフガング・パウリによって1927年に定式化された^[1]。

ベクトルポテンシャル ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ と スカラーポテンシャル ${\displaystyle \phi }$ で記述される電磁場中の、質量 ${\displaystyle m}$、電荷 ${\displaystyle q}$ の粒子のパウリ方程式は

Pauli equation (general) ${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\boldsymbol {p}}-q{\boldsymbol {A}}))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

ここで ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ はパウリ行列を簡便性のためベクトルの形に並べたもの、${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=-i\hbar \nabla }$ は運動量演算子。

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}}$

は2成分スピノルの波動関数で、列ベクトルをブラ-ケット記法で表している。

ハミルトニアン

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\boldsymbol {p}}-q{\boldsymbol {A}})\right]^{2}+q\phi }$

は、パウリ行列が含まれるため 2 × 2 行列である。これをシュレーディンガー方程式に代入して得られるのがパウリ方程式である。このハミルトニアンは電磁場と相互作用する電荷の古典的ハミルトニアンの類似物である。古典の場合の詳細についてはローレンツ力を参照。電磁場がないときの自由粒子の運動エネルギー項は、運動量を用いて単純に ${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {p}}^{2}}{2m}}}$ となるが、電磁場が存在するときは最小結合（英語版）により ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=p-q{\boldsymbol {A}}}$ （正準運動量）のように取り込まれる。

パウリベクトルの恒等式：

${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {b}})={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}+i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\right)}$

を使うとパウリ行列を運動エネルギー項から除くことができて、

Pauli equation (standard form) ${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left({\boldsymbol {p}}-q{\boldsymbol {A}}\right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

が得られる^[2]。ここで ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}}$ は磁場。

パウリ方程式は非相対論的だが、スピンを取り込んではいる。そのため、以下の2つの中間に基礎を置いたものだと考えられる。

• （複素数スカラー値の波動関数に対する）よく知られたシュレーディンガー方程式。これは非相対論的で、スピンを予測しない。
• （複素数4成分スピノルに対する）ディラック方程式。これは完全に特殊相対論的で、スピンを予測する。

パウリ行列の性質から、磁場のベクトルポテンシャル ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ が0であるとき、方程式は純粋に電位 ϕ のみがある場での通常のシュレーディンガー方程式に帰着される（ただし2成分スピノルに作用する点だけは異なる）ことに注意する：

${\displaystyle \left({\frac {{\boldsymbol {p}}^{2}}{2m}}+q\phi \right){\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}}$

これより、粒子のスピンは磁場が存在しているときに限って運動に影響を与えることが分かる。

スピノルの2成分はいずれもシュレーディンガー方程式を満たす。外部磁場 ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ がかかっているとき、粒子のパウリ方程式は：

Pauli equation (B-field) ${\displaystyle \underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\pm }\rangle =\left({\frac {({\boldsymbol {p}}-q{\boldsymbol {A}})^{2}}{2m}}+q\phi \right)\mathbb {I} {\boldsymbol {|}}\psi \rangle } _{\mathrm {Schr{\ddot {o}}dinger~equation} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {|}}\psi \rangle } _{\mathrm {Stern-Gerlach\,term} }}$

となる。ここで

${\displaystyle \mathbb {I} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$

は ${\displaystyle 2\times 2}$ の恒等演算子。

シュテルン＝ゲルラッハ項は価電子数1の原子のスピン方向に対して有効になり得る（例えば不均一な磁場中を進む銀原子）。

これと類似して、この項は異常ゼーマン効果に見られるように、磁場によるスペクトル線（エネルギー準位に対応する）の分裂を生じさせる原因にもなる。

• 半古典論
• en:Atomic, molecular, and optical physics
• en:Group contraction
• ゴルドン分解（英語版）

• Schwabl, Franz (2004). Quantenmechanik I. Springer. ISBN 978-3540431060 （『量子力学1』）
• Schwabl, Franz (2005). Quantenmechanik für Fortgeschrittene. Springer. ISBN 978-3540259046 （『上級量子力学』）
• Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Frank Laloe (2006). Quantum Mechanics 2. Wiley, J. ISBN 978-0471569527 

表 話 編 歴 量子力学
全般	序論（英語版） 数学的定式化
背景	古典力学 前期量子論 量子論 量子力学の歴史 量子力学の年表
基本概念	量子状態 波動関数 重ね合わせ 不確定性原理 可観測量 相補性 二重性 不確定性 トンネル効果 排他原理 エーレンフェストの定理 量子もつれ デコヒーレンス
定式化	シュレーディンガー描像 ハイゼンベルク描像 相互作用描像 波動力学 行列力学 経路積分 GNS表現
方程式	シュレーディンガー方程式 ハイゼンベルク方程式 パウリ方程式 クライン＝ゴルドン方程式 ディラック方程式
実験	二重スリット実験 シュテルン＝ゲルラッハの実験 デイヴィソン＝ガーマーの実験 ベルの不等式の検証実験（英語版） ポパーの実験（英語版） シュレーディンガーの猫 爆弾検査問題（英語版） 量子消しゴム実験
解釈（英語版）	観測問題 ボーム解釈 無矛盾歴史 コペンハーゲン解釈 アンサンブル解釈 隠れた変数理論 多世界解釈 客観的収縮（英語版） 量子論理 関係性量子力学 (RQM)（英語版） 確率過程量子化 交流解釈（英語版） フォン・ノイマン＝ウィグナー解釈
人物	ジョン・スチュワート・ベル デヴィッド・ボーム ニールス・ボーア マックス・ボルン サティエンドラ・ボース ルイ・ド・ブロイ ポール・ディラック ポール・エーレンフェスト ヒュー・エヴェレット3世 リチャード・P・ファインマン ヴェルナー・ハイゼンベルク パスクアル・ヨルダン ヘンリク・アンソニー・クラマース ジョン・フォン・ノイマン ヴォルフガング・パウリ マックス・プランク エルヴィン・シュレーディンガー アルノルト・ゾンマーフェルト ヴィルヘルム・ヴィーン ユージン・ウィグナー
関連項目	散乱理論 相対論的量子力学 場の量子論 量子情報 量子カオス 量子コンピューター
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