ピアソンの積率相関係数

ピアソンの積率相関係数（ピアソンのせきりつそうかんけいすう、英: Pearson correlation coefficient, PCC）とは、2つのデータまたは確率変数の間にある線形な関係の強弱を測る指標である^[1][2]。カール・ピアソンが研究した。一般的に、単に相関係数といえばピアソンの積率相関係数を指す。

ピアソンの積率相関係数は無次元量で、−1以上1以下の実数に値をとる。相関係数が正のとき確率変数には正の相関が、負のとき確率変数には負の相関があるという。また相関係数が0のとき確率変数は無相関であるという^[3][4]。

たとえば、先進諸国の失業率と実質経済成長率は強い負の相関関係にあり、相関係数を求めれば−1に近い数字になる。

相関係数が ±1 に値をとることは、2つのデータ（確率変数）が線形の関係にあるときに限る^[5]。また2つの確率変数が互いに独立ならば相関係数は 0 となるが、逆は成り立たない。

正の分散を持つ確率変数 X, Y が与えられたとき、共分散を ${\displaystyle \operatorname {cov} [X,Y]}$、標準偏差を σ_X, σ_Y とおく。このとき

${\displaystyle \rho ={\frac {\operatorname {cov} [X,Y]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}$

を確率変数 X と Y の母集団のピアソンの積率相関係数という。これは期待値を E[…] で表せば

${\displaystyle \rho ={\frac {E\left[\left(X-E\left[X\right]\right)\left(Y-E\left[Y\right]\right)\right]}{\sqrt {E\left[\left(X-E\left[X\right]\right)^{2}\right]E\left[\left(Y-E\left[Y\right]\right)^{2}\right]}}}}$

と書き直すこともできる。

大きさの同じ2個のデータ (x₁, x₂, …, x_n), (y₁, y₂, …, y_n) に対して、標本共分散を s_xy、標本標準偏差をそれぞれ s_x, s_y とおく。このとき

${\displaystyle r:={\frac {s_{xy}}{s_{x}s_{y}}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)\left(y_{i}-{\overline {y}}\right)}{\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\sum \limits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}}}$

を標本相関係数 (sample correlation coefficient) あるいは標本のピアソンの積率相関係数という。ただし、x, y はそれぞれデータ (x₁, x₂, …, x_n), (y₁, y₂, …, y_n) の平均値で、${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}$, ${\displaystyle {\overline {y}}={\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}}$ である。

相関係数は、幾何学的には次のような意味になる。

データ (x₁, x₂, …, x_n), (y₁, y₂, …, y_n) をそれぞれ n 次の列ベクトル x = [x₁ x₂ ... x_n]^⊤, y = [y₁ y₂ ... y_n]^⊤ と考えると、x, y の偏差ベクトルはそれぞれ以下のようになる。

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}-{\overline {x}}\,{\boldsymbol {1}}={\begin{bmatrix}x_{1}-{\overline {x}}\\x_{2}-{\overline {x}}\\\vdots \\x_{n}-{\overline {x}}\end{bmatrix}},\;{\boldsymbol {y}}-{\overline {y}}\,{\boldsymbol {1}}={\begin{bmatrix}y_{1}-{\overline {y}}\\y_{2}-{\overline {y}}\\\vdots \\y_{n}-{\overline {y}}\end{bmatrix}}}$

ただし、1 は全ての成分が1である n 次の列ベクトルで、1 = [1 1 ... 1]^⊤ である。このとき、x, y の偏差ベクトル x − x 1, y − y 1 のなす角を θ としたときの

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle {\boldsymbol {x}}-{\overline {x}}\,{\boldsymbol {1}},\;{\boldsymbol {y}}-{\overline {y}}\,{\boldsymbol {1}}\rangle }{\|{\boldsymbol {x}}-{\overline {x}}\,{\boldsymbol {1}}\|\|{\boldsymbol {y}}-{\overline {y}}\,{\boldsymbol {1}}\|}}}$

が標本相関係数 r である。ここで、⟨●, ●⟩ は内積を表す。

データ (x₁, x₂, …, x_n), (y₁, y₂, ..., y_n) が2次元正規分布からの標本のとき、標本相関係数 r は母集団相関係数 ρ の最尤推定量ではあるが、不偏推定量ではなく（絶対値で見ると）小さめに見積もりがちである^[6]。また外れ値に大きく影響してしまう。

下のような${\displaystyle X}$と${\displaystyle Y}$の同時確率分布を考える。

${\displaystyle \operatorname {P} (X=x,Y=y)}$	${\displaystyle y=-1}$	${\displaystyle y=0}$	${\displaystyle y=1}$
${\displaystyle x=0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1/3}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle x=1}$	${\displaystyle 1/3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1/3}$

この同時分布の場合、周辺分布は以下のようになる。

${\displaystyle \operatorname {P} (X=x)={\begin{cases}1/3&\quad {\text{for }}x=0\\2/3&\quad {\text{for }}x=1\end{cases}}}$

${\displaystyle \operatorname {P} (Y=y)={\begin{cases}1/3&\quad {\text{for }}y=-1\\1/3&\quad {\text{for }}y=0\\1/3&\quad {\text{for }}y=1\end{cases}}}$

ここから以下の期待値および分散値が得られる。

${\displaystyle \mu _{X}=2/3}$

${\displaystyle \mu _{Y}=0}$

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=2/9}$

${\displaystyle \sigma _{Y}^{2}=2/3}$

したがって、相関係数${\displaystyle \rho _{X,Y}}$は次の通り。

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{X,Y}&={\frac {1}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\operatorname {E} [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})]\\[5pt]&={\frac {1}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\sum _{x,y}{(x-\mu _{X})(y-\mu _{Y})\operatorname {P} (X=x,Y=y)}\\[5pt]&=(1-2/3)(-1-0){\frac {1}{3}}+(0-2/3)(0-0){\frac {1}{3}}+(1-2/3)(1-0){\frac {1}{3}}=0.\end{aligned}}}$

（すなわち「無相関」である）

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記述統計学	連続データ 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
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